Реферат на тему: Неопределенный интеграл. Первообразный и неопределенный интеграл

Введение

ИНТЕГРАЛ одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

Для отыскания неопределенного интеграла используют таблицы основных интегралов, свойства интеграла (в частности, линейность), тождественные преобразования (так называемое непосредственное интегрирование), а также применяют различные специальные приемы, позволяющие привести исходные интегралы к табличным.

Интегральное исчисление - это раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов, и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением; интегрирование (нахождение интеграла) есть действие, обратное дифференцированию: по данной непрерывной функции f(x) ищется функция F(x) (первообразная) , для которой f(x) является производной. Вместе с F(x) первообразной функцией для f(x) является и F(x) + С, где С - любая постоянная. Общее выражение F(x) + С первообразных непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом; он обозначается. Определенным интегралом непрерывной функции f(x) на отрезке [а, b], разделенном точками, называется предел интегральных сумм, где, при условии, что наибольшая разность стремится к нулю и число точек деления неограниченно увеличивается; его обозначают (самый знак возник из первой буквы S латинского слова Summa). Через определенные интегралы выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел, координаты центров тяжести, моменты инерции, работа, производимая данной силой, и т. д. О связи между определенным интегралом и первообразной см. Ньютона - Лейбница формула.

Оглавление

- Введение

- Неопределенный интеграл .1 Первообразный и неопределенный интеграл

- Таблица интегралов

- Некоторые свойства неопределенного интеграла Глава 2. Основные методы интегрирования

- Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки

- Интегрирование по частям

- Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

- Интегрирование рациональных дробей Заключение

- Список литературы

Заключение

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Список литературы

1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. - М.: Академия, 2003. - 616 с.:ил.

2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. - М.: Наука, 1972. - 872 с.:ил.

. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. - СПб.: Изд. "Санкт-Петербург оркестр", 1994. - 416 с.:ил.

4. Варшавский И. К. "Иррациональные уравнения"

5. Венцель Е.С., Овчаров А.А, "Теория случайных процессов и ее инженерное приложение" 1991 г. Москва

. Иванов А.А. "Курс лекций по математике"

. Ильин В.А., Позняк Э.Г. "Основы математического анализа" 1982г Москва. часть I

. Кальницкий Л.А "Специальный курс высшей математики для втузов" 1976

. Кудрявцев "Краткий курс математического анализа"

. Кузницов Д.А. "Сборник задач по высшей математики" 1983 г. Москва

. Ларин А.А. "Курс высшей математике" часть 2

. Пискунов Н.С. "Дифференциальное и интегральное исчисление" 1985 г.Москва I том

. Фихтенгольц Г.М. "Курс дифференциального и интегрального исчисления"

. . Шестаков А.А. Малышев И.А. "Курс высшей математики"

. Шипачев В.С. "Высшая математика" 2007г.