Дипломная работа на тему: История развития систем счисления. Двоичные системы счисления

Введение

Системой счисления называется совокупность приемов и правил для наименования и обозначения чисел. Условные знаки, применяемые для обозначения чисел, называются цифрами.

Обычно все системы счисления разбивают на два класса: непозиционные и позиционные. Непозиционной называют систему счисления, в которой значение каждой цифры в любом месте последовательности цифр, означающей запись числа, не изменяется.

Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик. Примером непозиционной системы счисления, достаточно широко применяющейся в настоящее время, может служить так называемая римская нумерация.

Для определения значения числа недостаточно знания типа и алфавита системы счисления. для этого необходимо еще задание правила, позволяющего по значению цифр установить значение числа. Например, для определения значения числа 945 в обычной десятичной системе счисления применяется функция десятичного сложения, т. е. значение числа определяется по значению цифр (9 в крайней левой позиции, 5 в крайней правой позиции, 4 между ними) обычным суммированием: значение числа 945 есть 900+40+5. В римской нумерации число IX определяется вычитанием: значение числа IX есть 10-1=9.

Системы, в которых значение каждой цифры зависит и от места в последовательности цифр при записи числа, носят название позиционных. Позиционной системой счисления является обычная десятичная система счисления.

При выполнении различных операций в современных цифровых системах числа обычно представляются в двоичной системе счисления, основанием которой является число 2. При этом целое к-разрядное десятичное число записывается в виде n-разрядного двоичного числа :

где =0, 1, … , 9 - цифра в i-м разряде десятичного числа:

=0 или 1 - цифра в j-м разряде двоичного числа.

Введением отрицательных степеней числа 2 представляются дробные числа.

Таким образом, в двоичном счислении любое числи можно представить двумя числами: 0 и 1. Для представления этих чисел в цифровых системах достаточно иметь электронные схемы, которые могут принимать два состояния, четко различающиеся значением какой-либо электрической величины - потенциала или тока. Одному из значений этой величины соответствует цифра 0, другому 1. Относительная простота создания электронных схем с двумя электрическими состояниями и привела к тому, что двоичное представление чисел доминирует в современной цифровой технике. При этом 0 обычно представляется низким уровнем потенциала, а 1 - высоким уровнем. Такой способ представления называется положительной логикой.

Перевод десятичного числа в двоичный код можно осуществлять путем последовательного деления числа на 2. Остатки ( 0 или 1 ), получающиеся на каждом шаге деления, формируют двоичный код преобразуемого числа, начиная с его младшего разряда. В качестве старшего разряда двоичного кода записывается 1, полученная в результате последнего шага деления. Например, преобразование числа =109 в двоичный код выполняется следующим образом:

: остатки 109 2

Обратное преобразование выполняется следующим образом:

Цифровые системы оперируют действительными, целыми и дробными числами, которые могут иметь две формы представления: с плавающей запятой, с фиксированной запятой.

При использовании плавающей запятой число состоит из двух частей: мантиссы m, содержащей значащие цифры числа, и порядка р, показывающего степень, в которую надо возвести основание числа q, чтобы полученное при этом число, умноженное на мантиссу , давало истинное значение представляемого числа:

Мантисса и порядок представляются в двоичном коде. Обычно число дается в нормализованном виде, когда его мантисса является правильной дробью, причем первая значащая цифра ( единица ) следует непосредственно после запятой: например, где m=0,1010; р=10; q=2

При использовании фиксированной запятой число представляется в виде единого целого, причем положение запятой в используемой разрядной сетке жестко фиксировано. Обычно числа с фиксированной запятой даются в виде правильной дроби. Для этого все числа умножают на масштабный коэффициент, чтобы перевести их в правильную дробь. Цифровые системы, использующие числа с плавающей запятой, сложнее систем, использующих числа с фиксированной запятой, так как при этом требуется выполнение операций как над мантиссами, так и над порядками. Однако диапазон представляемых чисел при одинаковом числе разрядов в системах с плавающей запятой значительно больше.

Для представления знака числа используется знаковый разряд z, который обычно располагается перед числовыми разрядами. Для положительных чисел значение знакового разряда z=0, для отрицательных чисел z=1. Для чисел с плавающей запятой вводятся отдельные знаковые разряды для мантиссы и для порядка чисел.

Для представления числе со знаком в цифровых системах используется обратный1 или дополнительный2 код (таб. 1.). При этом положительные числа представляются в обычном двоичном коде. Обратный код отрицательного числа образуется путем замены 0 во всех разрядах исходного двоичного числа на 1, и наоборот. Дополнительный код отрицательного числа получается из обратного прибавлением 1 к младшему разряду.

Особенность кода Грея в том , что при переходе к каждому последующему числу в коде изменяется значение только одного двоичного разряда. При этом двухразрядные числа образуют циклическую последовательность 00-01-11-10 (0-1-2-3), трехразрядные - последовательность 000-001-011-010-110-111-101-100-000 (0-1-2-3-4-5-6-7-0) и т.д. Такая цикличность кода является весьма удобной, например, для кодирования угловых перемещений в преобразователях угла поворота в цифровой код.

Таблица 1. Наиболее распространенные двоичные коды от 0 до 15

Десятичное число

Форма представления

Двоичное счисление

Обратный код

Дополнительный код

Код Грея

Перевод десятичных чисел в двоичный код требует использования достаточно сложных схем преобразователей и занимает относительно долгое время. Более просто и быстро осуществляется перевод десятичных чисел в двоично-десятичный код. При этом цифра в каждом разряде десятичного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) согласно таб. 2

Таблица 2.

Наиболее распространенные двоично-десятичные коды чисел от 0 до 9

Десятичное число

Двоично-десятичный код (8-4-2-1)

Код Айкена (2-4-2-1)

Код "с избытком 3"

Например, число в двоично-десятичном коде записывается в виде 0111 0010 1001. Для выполнения сложения и вычитания двоично-десятичных чисел наиболее удобно использовать самодополняющиеся коды, к числу которых относятся код Айкена, код "с избытком 3 ".Код Айкена отличается от обычного двоично-десятичного, имеющего весовые коэффициенты разрядов в тетрадах 8-4-2-1, другими значениями весовых коэффициентов разрядов: 2-4-2-1. Код "с избытком 3"получается из обычного двоично-десятичного арифметическим прибавлением числа 3 (двоичное число 0011).

Как видно из таблицы 2 обратный код числа, представленного в каком-либо самодополняющем двоично-десятичном коде ,является его двоичным дополнением до 9. Например, число 5 в коде "с избытком 3" =1000 имеет обратный код =0111, соответствующий числу 4 в коде "с избытком 3", которое "дополняет" число 5 до 9, так как 5+4=9.

Оглавление

- История развития систем счисления

- Двоичные системы счисления

- Двоичная арифметика

- Формы представления чисел с фиксированной и плавающей запятой

- Сложение чисел с фиксированной запятой

- Сложение чисел с плавающей запятой

- Умножение чисел с фиксированной запятой

- Умножение чисел с плавающей запятой

- Прямой, обратный и дополнительный коды. Модифицированный код

- История развития систем счисления