Решение задач на тему: Общая постановка и анализ задания. Вывод формул численного интегрирования с использованием

Введение

Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [а,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти

По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда

где Rn(f) - ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:

Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:

1.коэффициенты Аi при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x);

2.для полинома степени n последняя формула точная.

Пологая y=xК (к=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:

где

(к=0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN.

Определитель системы есть определитель Вандермонда

Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским.

Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул :

Оглавление

- Общая постановка и анализ задания

- 1.1. Введение

- Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа

- Формула трапеций и средних прямоугольников

- Общая формула Симпсона параболическая формула

- Квадратурная формула Чебышева

- Решение контрольного примера

- Описание программы Integral. pas. Алгоритм

- Заключение и выводы

- 5. Список литературы

- Листинг программы. Вывод на экран

- Общая постановка и анализ задачи

Список литературы

1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. "Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic"

2. Крылов В.И. "Приближенные вычисления интегралов" - М. : Физмат.

3. Демидович и Марон "Основы вычислительной математики"

4. Копченова и Марон "Вычислительная математика в примерах и задачах"

5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.

6. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.

7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.

6. Листинг программы.

Программа написана на языке Tubro Pascal 7.0 для МS-DOS. Ниже приведен ее листинг:

к=-0.832498;

{ заполнение х-сов в массив х[5] }

procedure vvod(var а,b:real;var с:аа);

t[1]:=к;

t[5]:=к;

с[i]:=((b+а)/2+(b-а)/2*t[i]);

с[i]:=1 - с[n+1-i];

{ заполнение y-ков в массиве у[5] }

y[i]:=sin(x[i]); {функция}

{ процедура для расчета интеграла по квадратурной

формуле Чебышева }

{ процедура вывода таблицы}

writeln('| 1 |',к:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|');

writeln('| 5 |',к:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|');

writeln(' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я');

writeln(' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А ');

writeln('Введите границы интегрирования а,b:');

Вывод результата :

П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я

О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А

Введите границы интегрирования а,b: