Дипломная работа на тему: Условия существования определенного интеграла

Введение

Нахождение производной f'(x) или дифференциала df=f'(x)dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F'(х)=f(x) или F(x)=F'(x)dx=f(x)dx.. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.

Задача о нахождении площади

Определить площадь Р криволинейной трапеции ABCD (рис 1)

Разделим основание АВ нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, соответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок. Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем с крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.

Обозначим абсциссы точек деления через

Основание i - го прямоугольника равно разности X - X (ΔX). Высота равна y = f (X). Поэтому площадь i - го прямоугольника будет y ΔX = f (X) ΔX.

Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади Р криволинейной трапеции

Р= y ΔX или Р=f (X) ΔX .

Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех ΔX стремится к нулю. Точное значение площади Р получится как предел:

Р=Lim y ΔX или Р=Limf (X) ΔX,

В предположении, что все ΔX одновременно стремятся к 0.

Для обозначения предельного значения суммы y ΔX Лейбниц и ввел символ ∫ ydx, где ydx напоминает типичное слагаемое суммы, а ∫ есть стилизованная буква S - начальная буква латинского слова "Summa". Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ сохранился и для обозначения первообразной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать

если речь идет о переменной площади, и

- в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей изменению х от а до b.

Определение. Пусть функция f (X) задана в некотором промежутке [а, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между а и b точки деления. Наибольшую из разностей ΔX = X - X (i = 0, 1,2, . ..,n-1) обозначим через λ.

Возьмем в каждом из частичных промежутков [X, X] по произволу точку X = ξ

и составим сумму

Пусть I конечный предел данной суммы

Конечный предел I суммы σ при называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от а до b и обозначается символом

В случе существования такого предела функция f(x) называется интегрируемой в промежутке [а, b].

Числа а и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.

Приведенное определение принадлежит Риману (В.Riemann), коорый впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения.[7]

Оглавление

- Введение 3

- Историческая справка

- Условия существования определенного интеграла

- Приложение интегрального исчисления

- Общие понятия

- Интегральное исчисление в геометрии

- Вычисление длины дуги плоской кривой

- Вычисление объема тела

- Вычисление площади поверхности вращения

- Вычисление площадей плоских фигур

- Механические приложение определенного интеграла

- Работа переменной силы

- Путь, пройденный телом

- Давление жидкости на вертикальную пластинку

- Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

- Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

- Интегральное исчисление в биологии

- Численность популяции

- Биомасса популяции

- Средняя длина пролета

- Интегральное исчисление в экономике

- Заключение 39

- Литература 40

Заключение

Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.

Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.

Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.

Дальнейшая наша работа над данной темой планируется именно в направлении рассмотрения методики и линий изучения определенного интеграла в школе.

Список литературы

1. Баврин И.И. Высшая математика - М.: Просвещение, 1993. - 319.

2. Бермантт А.Ф. , Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - М.: Наука, 1971 . - 736с.

3. Красс М.С Основы математики и ее приложения в экономическом образовании

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М. :Наука, 1985.-560с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - М.: Айрис - пресс, 2003. - 288 с.

6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А Математика в экономики - М.: Финансы и статистика, 2005. - 560с.

7. Фихтенгольц Том 2

8. Шипачёв В.С. Высшая математика - М: Наука, 2003 - 684с.