Дипломная работа на тему: Силовские подгруппы конечных групп. Полунормальные подгруппы

Введение

В теории конечных групп видное место занимают результаты, связанные с исследованием существования дополнений к выделенным системам подгрупп. В классических работах Шура, Цассенхауза, Гашюца, Л.А. Шеметкова устанавливаются условия, при которых существует дополнение к нормальной подгруппе. В 1968 году в работе для получения существования дополнений к нормальной подгруппе Л.А. Шеметков стал рассматривать добавления. В настоящее время под минимальным добавлением к подгруппе в группе понимается такая подгруппа , что , но для любой собственной подгруппы из . Очевидно, что любая подгруппа конечной группы обладает минимальным добавлением. Ясно также, что дополнение является частным случаем минимального добавления.

Известно, что конечные разрешимые группы можно охарактеризовать как конечные группы, у которых дополняемы все силовские подгруппы. Эта теорема Ф. Холла явилась источником развития одного из направлений теории групп, состоящего в исследовании строения групп с выделенными системами дополняемых подгрупп. Как отмечает в своей монографии С.Н. Черников: "Изучение групп с достаточно широкой системой дополняемых подгрупп обогатило теорию групп многими важными результатами". К настоящему времени выделены и полностью изучены многие новые классы групп. При этом наметилась тенденция к обобщениям как самого понятия дополняемой подгруппы, так и способа выделения системы дополняемых подгрупп. Системы дополняемых подгрупп выделялись, например, с помощью таких понятий как примарность, абелевость, цикличность, нормальность и других свойств конечных групп и их комбинаций, а вместо дополняемости рассматривались -дополняемость, -плотность подгруппа, строго содержащаяся между ними), и др.

Однако условие существования дополнений к отдельным подгруппам является достаточно сильным ограничением. Далеко не все подгруппы обладают дополнениями. Вместе с тем каждая подгруппа обладает минимальным добавлением. Поэтому для исследования строения конечных групп с системами добавляемых подгрупп необходимо вводить дополнительные ограничения на минимальные добавления.

Квазинормальной называют подгруппу группы , которая перестановочна со всеми подгруппами группы . Ясно, что нормальные подгруппы всегда квазинормальны.

Минимальное добавление к квазинормальной подгруппе группы обладает следующим свойством: если - подгруппа из , то - подгруппа группы . Это наблюдение позволяет ввести следующее определение: минимальное добавление к подгруппе группы назовём супердобавлением, если является подгруппой для любой подгруппы из . Ясно, что нормальные и квазинормальные подгруппы обладают супердобавлениями. В симметрической группе силовская -подгруппа обладает супердобавлением, но не является квазинормальной подгруппой. Кроме того, не каждая подгруппа группы обладает супердобавлением.

Всякую факторизуемую группу можно рассматривать как группу с подгруппой и её добавлением , и как группу с подгруппой и её добавлением . Известно, что группа с нормальными сверхразрешимыми подгруппами и не всегда является сверхразрешимой. Отсюда следует, что формация всех сверхразрешимых групп не является классом Фиттинга. Известны следующие случаи, ведущие к сверхразрешимости группы с нормальными сверхразрешимыми подгруппами и :

- подгруппы и имеют взаимно простые индексы;

- группа имеет нильпотентный коммутант;

- подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из , а подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из . Подобная тематика разрабатывалась и в статье А.Ф. Васильева и Т.И. Васильевой.

В настоящей дипломной работе рассматриваются следующие вопросы: строение группы с максимальной полунормальной подгруппой и группы с полунормальной силовской подгруппой; признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами в факторах.

Оглавление

- Введение

- Силовские подгруппы конечных групп

- Полунормальные подгруппы

- Свойства супердобавлений

- Супердобавления к максимальным подгруппам

- Супердобавления к силовским подгруппам

- Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами

- Силовские множества и их свойства

- Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых групп

- Заключение

- Список использованных источников

Заключение

В дипломной работе рассмотрены группы с ограничениями на минимальные добавления к выделенным подгруппам. Изучены следующие вопросы:

- критерий существования супердобавления к максимальной подгруппе, на основе которого устанавливаются новые признаки сверхразрешимости как самой группы, так и отдельных её подгрупп; в частности доказано, что максимальная подгруппа группы обладает супердобавлением в группе тогда и только тогда, когда индекс в есть простое число;

- изучено строение группы, у которой силовские подгруппы обладают супердобавлениями; а именно пусть - наибольший простой делитель порядка группы и - ее силовская -подгруппа. Если обладает супердобавлением в , то - нормальная подгруппа группы ;

- с помощью введенного понятия силовского множества изучены новые признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами из факторов:

пусть группа , где подгруппы и дисперсивны по Оре. И пусть и - силовские множества подгрупп и . Если циклические примарные подгруппы из -квазинормальны, а циклические примарные подгруппы из -квазинормальны, то группа дисперсивна по Оре.

Список литературы

1 Васильев А.Ф. и Васильева Т.И. О конечных группах, у которых главные факторы являются простыми группами // Известия ВУЗов. Серия "Математика". - 1997. - N11. - 10-14 с.

2 Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф. Скорины. Вып. 12. - 1998. - 113-122 с.

3 Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов // Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, 2003. - 320 с.

4 Подгоргная В.В. Минимальные добавления к подгруппам конечных групп. Курс лекций // Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, 2003. - 65 с.

5 Подгорная В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхроазрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. - Витебск: ВГУ, 1999. - №4. - С. 80-82.

6 Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - Мiнск, 2000. - №4. - 22-25 с.

7 Тютянов В.Н. К гипотезе Холла // Гомель, 2001. - №6. - 5 с. -

8 Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп // М.: Наука, 1980. - 384 с.

9 Шеметков Л.А. Факторизации конечных групп // ДАН СССР. - 1968. - 178, №3. - С. 559-562.

10 Шеметков Л.А. Формации конечных групп // М.: Наука, 1978. - 272 с.

11 Assad М., Shaalan, Оn the supersolvability оf finite groups // Arch. Math. - 1989. - 53. - 318-326 р.

12 Baer R. Classes оf finite groups and their properties // Illinois J. Math. - 1957. - V.I. - 115-187 р.

13 Doerk К., Hawkes Т. Finite soluble groups // Walter dе Gruyter, Berlin - New York, 1992. - 889 р.

14 Friesen D.К. Products оf normal supersolvable subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1971. - 30, №1. - 46-48 р.

15 Hall Р. А characteristic property оf soluble groups // J. London Math. Soc. - 1937. - 12. - Р. 198-200.

16 Huppert В. Endliche gruppen, I // Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967. - 793 р.

17 Carocca А., Matos Н. Some solvability criteria for finite groups // Hokkaido Mathematical Joyrnal. - 1997. - Vol.26. - 157-161 р.