Дипломная работа на тему: Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл,

Введение

Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда Р(x,y) и Q(x,y) - аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:

mx+ny+р=0 (0.5)

в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

Оглавление

- Введение

- Построение квадратичных двумерных стационарных систем

- Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

- Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

- Необходимые и достаточные условия существования у системы 1.1 двух частных интегралов 1.4, 1.18

- Исследование поведения траекторий системы на плоскости

- Исследование системы 1.1 с коэффициентами, заданными формулами 1.35 в конечной плоскости

- Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

- Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре Заключение

- Список использованных источников

- Приложение. Поведение траекторий системы 2.1

Список литературы

1 Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.

2 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.

3 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.

4 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.

5 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа "узел" // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.

6 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.

7 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.

8 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.

9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256

10 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где Р и Q - многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.

11 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Поведение траекторий системы (2.1)

б) (а<0)

Рис. 2