Решение задач на тему: Обучение математическому моделированию в школе

Введение

Проблема модернизации образования в настоящее время широко обсуждается в теории и практике, особенно с позиции активизации творческой познавательной деятельности учащихся. Активизация познавательной деятельности учащихся - один из дидактических принципов, роль которого существенно возросла в условиях развивающего обучения. Проблема активизации включает в себя средства для осуществления такой деятельности.

Моделирование - важный метод научного познания и сильное средство активизации учащихся в обучении.

Отмечается, что одной из составляющих математического образования является новое представление о предмете математики. В основе содержания школьных учебников должно быть предусмотрено создание и разработка схем, моделей и их вариантов, создание моделей по известным схемам, приложение уже разработанных схем непосредственно в обучении. Для того чтобы лучше увидеть общие черты усваиваемого действия, надо отвлечься от ненужных в данном случае свойств предметов, а это и значит, что нужно перейти к действию с моделями, свободными от всех других свойств, кроме нужных в данном случае.

К основным целям обучения математике относится формирование умений строить математические модели простейших реальных явлений, исследовать явления по заданным моделям, конструировать приложения моделей; приобщение учащихся к опыту творческой деятельности и формирование у них умения применять его.

Но очевидно, что такие умения должны начинать формироваться не в 8 - 11 классах, а значительно раньше, уже в 5 - 6 классах, для чего могут быть использованы сюжетные задачи, описывающие реальную или приближенную к реальной ситуацию на неформально-математическом языке. В основе решения сюжетных задач лежит математическое моделирование, поэтому необходимо организовать обучение элементам моделирования уже на ранних этапах обучения, а именно в 5 - 6 классах, когда имеется возможность дополнительно предлагать учащимся такие задачи, целенаправленно способствующие развитию определенных сторон мышления.

С учетом вышеизложенного для исследования была выбрана тема "Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5 - 6 классов (на примере учебников Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон)".

Объект исследования - процесс обучения математике в 5 - 6 классах.

Предмет исследования - обучение учащихся 5 - 6 классов элементам математического моделирования.

Цель работы - рассмотреть основные вопросы и проблемы обучения элементам математического моделирования в 5 - 6 классах и разработать методику изучения элементов математического моделирования на основе учебников "Математика" для 5 - 6 классов авторов Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон.

Гипотеза: изучение математического моделирования на ранних этапах обучения, а именно в 5 - 6 классах средней школы делает процесс обучения математике более эффективным и осмысленным, а также способствует формированию у школьников диалектико-материалистического мировоззрения, умения проводить рациональные рассуждения.

Предмет, цель и гипотеза исследования определяют следующие задачи:

1) дать понятие математической модели, раскрыть суть метода математического моделирования;

2) определить основные функции и цели обучения математическому моделированию в школе;

3) обосновать роль изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов;

4) описать методику обучения школьников элементам математического моделирования по учебникам Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон "Математика" для 5-6 классов;

5) проанализировать учебники [6], [7], [11 - 17], [21], [22] с точки зрения наличия элементов математического моделирования;

6) экспериментально проверить основные положения исследования.

Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных выше задач были использованы следующие методы:

1) изучение литературы по математике и методике преподавания математики по исследуемой теме;

2) изучение психологической, педагогической, философской литературы по теме исследования;

3) наблюдение за работой учащихся;

4) опытное преподавание.

Оглавление

- Введение

- Теоретические основы математического моделирования 1.1. Понятие модели. Моделирование. Классификация моделей и виды моделирования

- Математическая модель. Математическое моделирование

- Математическое моделирование в школе

- Функции и цели обучения математическому моделированию в школе 1.5. Роль изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов Выводы по главе

- Обучение школьников элементам математического моделирования 2.1. Обзор школьных учебников по математике для 5-6 классов с точки зрения наличия элементов математического моделирования

- Методика обучения математическому моделированию по учебникам Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. Математика-5, Математика-6

- Анализ учебников Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон Математика-5, Математика-6 с точки зрения наличия задач для формирования умений, характерных для математического моделирования 2.4. Опытное преподавание Выводы по главе

- Заключение

- Библиографический список

- Приложения

Заключение

В ходе теоретического и экспериментального исследования получены следующие результаты:

1) рассмотрены основные вопросы и выявлены проблемы обучения элементам математического моделирования;

2) рассмотрены понятия "математическая модель" и "математическое моделирование", выделены основные идеи и этапы метода математического моделирования;

3) выделены дидактические функции преподавания математического моделирования в школе;

4) обосновано значение изучения элементов математического моделирования на ранних этапах обучения, а именно в 5 - 6 классах;

5) выделены основные умения, характерные для этапов формализации и интерпретации, и описана методика обучения элементам математического моделирования в 5 -6 классах (по учебникам "Математика" для 5- 6 классов Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон);

6) проанализированы учебники по математике для 5 - 6 классов с точки зрения наличия элементов математического моделирования и сделаны соответствующие выводы;

7) в процессе опытного преподавания, согласно рассмотренным методикам, были разработаны и проведены два занятия математического кружка и контрольная работа.

Результаты проведенного исследования позволяют сделать следующие выводы:

1) при решении задач посредством моделирования школьники учатся абстрагированию, анализу, синтезу, сравнению, аналогии, обобщению, переводу жизненных проблемных ситуаций в абстрактные модели и наоборот. Использование моделирования как способа обучения поисковой деятельности, обобщенным подходам, приемам в решении задач способствует усилению творческой направленности процесса обучения, развитию умственных способностей учащихся, то есть моделирование является средством совершенствования процесса обучения математике, которое позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся и развивать их мышление;

2) включение моделирования в содержание уроков математики необходимо для ознакомления учащихся с современной научной трактовкой понятий модели и моделирования, овладения моделированием как методом научного познания и решения сюжетных задач;

3) следует включить изучение элементов математического моделирования в содержание уроков не только в 7 - 9 классах, а на ранних этапах обучения, то есть уже в 5 - 6 классах или еще раньше (в начальной школе). Это обосновано тем, что у учащихся создаются предпосылки для более осознанного изучения математики, формирования диалектико-материалистического стиля мышления и повышения интереса к самой науке математике.

Можно сделать общий вывод, что все задачи исследования решены, цель достигнута, гипотеза подтверждена и теоретическим анализом, и экспериментально.

Список литературы

1. Алгебра: Учебник для 9 кл. сред. шк. [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение, 1990. -272 с.

2. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 - 11 кл. сред. шк. [Текст] / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.: Под. Ред. А. Н. Колмогорова. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.

3. Алтухов, В.Л. О перестройке мышления: философско-методологические аспекты [Текст] / В. Л. Алтухов, В.Ф. Шапошников. - М.: Просвещение, 1988.

4. Артоболевский, А. Н. Арифметические задачи с производственно-бытовым содержанием [Текст] / А. Н. Артоболевский. - М.: Государственное учебно-педагогическое изд-во Министерства Просвещения РСФСР, 1961.

5. Веников, В.А. Теория подобия и моделирования [Текст] / В. А. Веников. - М.: Высшая школа, 1986. - 480 с.

6. Виленкин Н. Я. Математика, 5 класс. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений [Текст] / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбург. / Изд. 6-е. - М.: Сайтком, 2000. - 358 с.

7. Виленкин Н. Я. Математика, 6 класс. Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений [Текст] / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбург. / 12-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2003. - 304 с.

8. Возняк, Г. М. Прикладные задачи в мотивации обучения [Текст]/ Г. М. Возняк // Математика в школе, 1990, №2

9. Горстко, А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием [Текст] / А. Б. Горстко. - М.: Знание, 1991. - 160 с.

10. Грес, П. В. Математика для гуманитариев [Текст] / П. В. Грес. - М.: Логос, 2005.

11. Дорофеев, Г. В. Математика, 5 класс. Часть 1: учебник для 5 кл. [Текст] / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. - М.: Баллас, С-инфо, 1996. - 176 с.

12. Дорофеев, Г. В. Математика, 5 класс. Часть 2: учебник для 5 кл. [Текст] / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. - М.: Баллас, С-инфо, 1997. - 240 с.

13. Дорофеев, Г. В. Математика, 6 класс. Часть 1: учебник для 6 кл. [Текст] / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. - М.: Баласс, С-инфо, 1998. - 112 с.

14. Дорофеев, Г. В. Математика, 6 класс. Часть 2: учебник для 5 кл. [Текст] / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. - М.: Баллас, С-инфо, 1999. - 128 с.

15. Дорофеев, Г. В. Математика, 6 класс. Часть 3: учебник для 6 кл. [Текст] / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. - М.: Баласс, С-инфо, 2002. - 176 с.

16. Зубарева, И. И. Математика. 5 кл.: Учебник для общеобразоват. Учреждений [Текст] / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2003. - 293 с.

17. Зубарева, И. И. Математика. 6 кл.: Учебник для общеобразоват. Учреждений [Текст] / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 281 с.

18. Канин, Е. С. Учебные математические задачи [Текст] / Е.С. Канин. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. - 154 с.

19. Крутихина, М. В. Обучение некоторым элементам математического моделирования как средство подготовки к профильному образованию [Текст] / М. В. Крутихина // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Периодический межвузовский сборник научно-методических работ: выпуск 6 - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. - с. 246-254.

20. Мангейм, Дж. Б. Политология. Методы исследования [Текст]: Перевод с англ. / Дж. Б. Мангейм, Р. К. Рич. - М.: Весь Мир, 1997. - 544 с.

21. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1999. - 368 с.

22. Математика: 6 класс: Учебник для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1995. - 416 с.

23. Математическая энциклопедия. Гл. ред. М. Виноградов. Том 3. Коо - Од. М.: Советская энциклопедия, 1982, 1184 стр., ил.

24. Мышкис, А. Д. О прикладной направленности школьного курса элементов математического анализа [Текст] / А. Д. Мышкис // Математика в школе, 1990, - № 6, с. 7-11.

25. Новик, И. Б. О философских вопросах кибернетического моделирования [Текст] / И. Б. Новик - М., Знание, 1964.

26. Обойщикова, И. Г. Обучение моделированию учащихся 5 - 6 классов при изучении математики [Текст]: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / И. Г. Обойщикова. - Саранск, 2002.

27. Сичивица, О. М. Методы и формы научного познания [Текст] / О. М. Сичивица. - М., Высшая школа, 1993.

28. Терешин, Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики [Текст] / Н. А. Терешин. - М.: Просвещение, 1990.

29. Уемов, А. И. Логические основы метода моделирования [Текст] / А. И. Уемов. - М.: Просвещение, 1996.

30. Формирование системного мышления в обучении: учеб. пособие для вузов [Текст] / под ред. З. А. Решетовой - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 344с.

31. Фридман, Л. М. Наглядность и моделирование в обучении [Текст] / Л. М. Фридман. - М.: Знание, 1984. - 80 с.

32. Целищева, И. Моделирование в текстовых задачах [Текст] / И. Целищева, С. Зайцева // Приложение к газете "1 сентября". Математика, 2002, №33 - 34

33. Штофф, В. А. Моделирование и философия [Текст] / В. А. Штофф. - М.: Наука, 1966.

Приложение 1

Разработка занятия математического кружка по теме "Математические модели"

Ход занятия:

Учитель предлагает ребятам решить 2 задачи по вариантам.

Задача 1. На выставке кошек представлены кошки сибирской, ангорской, персидской и сиамской пород. Сибирских кошек на 3 больше, чем сиамских, персидских на одну меньше, чем ангорских, ангорских в 4 раза больше, чем сиамских. Сколько кошек каждой породы на выставке, если всего их 32.

Задача 2. На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе учитель ответил: "Пятерок на 3 больше, чем двоек, троек на одну меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше, чем двоек". Сколько человек получили пятерки и сколько четверки, если в классе 32 человека? (см. № 39, [12])

Затем учитель просит по одному человеку от каждого варианта записать на доске уравнение, получившееся в результате решения задачи. Оказалось, что уравнения совпадают.

Учитель говорит: "Мы видим, что в совершенно различных, на первый взгляд, задачах можно обнаружить, что их решение практически одинаково. В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель. Полученное вами уравнение - это и есть математическая модель задачи. Ребята, а знакомы ли вы вообще с понятием "модель"? Можете ли вы привести примеры известных вам моделей (называют модели)".

Можно в качестве примера привести такие модели: глобус - модель земного шара, перед тем, как построить дом, архитектор создает его уменьшенную копию - модель и т.п. Было сказано, что полученное уравнение - это математическая модель задачи, тогда в чем состоит отличие математической модели от других моделей. Математическая модель описывается средствами математики, то есть с помощью математических знаков и символов и представляет собой математическое выражение или равенство, например:

Для того чтобы построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условия задач с привычного родного языка на специальный, математический язык.

Рассмотрим несколько задач с примерами такого перевода.

Задача 1. Сережа, Костя и Денис принесли на выставку 120 почтовых марок. Сережа принес 25 марок, а Костя - в 2 раза больше марок, чем Сережа. Сколько марок принес на выставку Денис.

С. К. Д.

Марки Дениса составляют часть всех марок, которые принесли мальчики. Поэтому для ответа на вопрос задачи надо из всех марок вычесть марки Сережи и Кости. Из условия известно, что все трое ребят принесли 120 марок. Сережа принес 25 марок, а Костя - марок. Значит, Денис принес марок.

Выражение является математической моделью данной задачи.

Задача 2. В соревнованиях по плаванию приняло участие 60 человек, причем мальчиков было в 3 раза больше, чем девочек. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях.

Всех участников соревнований можно разбить на 2 группы - мальчики и девочки. Однако для этой задачи мы не можем составить числовое выражение, так как не известно ни число мальчиков, ни число девочек

девочки мальчики девочки мальчики

Обозначим число девочек через x. Тогда число мальчиков равно 3x, а всего участников соревнований . Но по условию задачи всего участников 60, и значит, равенство является математической моделью данной задачи.

Мы перевели условия задачи на математический язык, но не решили их, то есть не ответили на поставленный вопросы. Как же найти неизвестные числа?

После перевода получились новые тексты задач.

Решение первой задачи свелось к нахождению значения выражения , что не вызывает никаких трудностей.

Таким образом, ответ к первой задаче следующий: "Денис принес на выставку 45 марок".

Во второй задаче необходимо найти неизвестные числа x и 3x, если выполняется равенство .

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением. С уравнениями вы уже знакомы и умеете их решать.

, тогда .

Значит, в соревнованиях участвовало 15 девочек. А число мальчиков, участвовавших в соревнованиях, равно или 45.

Из рассмотренных примеров видно, что после перевода текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями - к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.

Далее ученикам предлагается выполнить следующие задания.

Задание 1. Переведите условие задачи с русского языка на математический двумя различными способами:

Тетради в клетку дороже тетрадей в линейку на 400 руб. За 8 тетрадей в клетку надо заплатить на 1600 руб. больше, чем за 10 тетрадей в линейку. Какова цена этих тетрадей? (См. № 116 (3), [11])

Задание 2. Построй математическую модель задачи и реши ее.

Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 24 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали? (См. № 201 (1), [13])

Задание 3. Предприятию было выделено для сотрудников 120 садовых участков. Из них 25% участков еще не освоено, а на освоенных участках построены деревянные и кирпичные дома. Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет 20% от числа деревянных домов? (См. № 414, [13])

В школе в качестве моделей изучаются не только числовые или буквенные выражения и уравнения. В старших классах вы познакомитесь с другими видами уравнений, неравенствами, системами уравнений или неравенств, а также с функциями.