Дипломная работа на тему: Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы

Введение

Перед преподаванием математики в школе кроме общих целей обучения стоят ещё свои специфические цели, определяемые особенностями математической науки. Одна из них - это формирование и развитие математического мышления. Это способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей школьников, подготавливает их к творческой деятельности вообще и в математике с ее многочисленными приложениями в частности.

Вообще интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.

Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, которое является одной из основных задач современного школьного обучения.

Хочется обратить внимание на две главные проблемы дидактики математики: модернизация содержания школьного математического образования и совершенствование структуры курса.

Быстрый рост объема научной информации, ограниченность срока школьного обучения и невозможность сокращения объема изучаемых в школе основ науки с целью включения новой информации усложняют проведение реформ по модернизации школьного образования, а поэтому готовить их придется в течение более длительного времени, тщательно и строго на научной основе.

Имеют место успешные эксперименты по модернизации курса начальных классов и изучению в нем начал алгебры, что позволило дать значительную пропедевтику алгебры и геометрии в I-V классах, позволяющую изучить систематические курсы этих предметов в более быстром темпе и перенести ряд тем из старших классов в средние; включить в программу старших классов элементы высшей математики. Таким образом, улучшение системы курса возможно и в период между реформами, т.е. независимо от модернизации образования.

Мы не беремся решать эти вопросы, т.к. работаем в более узком направлении, предлагая на данном этапе ввести в общеобразовательный курс тему "Комплексные числа".

Говоря об алгебраической культуре, заметим, что некоторые разделы алгебры, которые иногда даже не рассматриваются в математических классах, целесообразно вводить в общеобразовательную программу. Так, например, понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является формирование понятия комплексного числа.

Борьба за сознание учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможна и может вестись по нескольким различным линиям, учитывая то, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики.

1) Развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в естествознании и технике, в частности - в учении о движении жидкостей и газов, в электротехнике и самолетостроении и т.д.

2) Действия над комплексными числами связаны с важными действиями геометрического характера и имеют значительные и обширные приложения. Также с их помощью можно иногда с большей простотой получить такие результаты, относящиеся к действительным числам, которые без комплексных чисел получаются с большим трудом.

3) Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий. Совокупность комбинаций вещественного и чисто мнимого чисел образует единое стройное целое - мир комплексных чисел, находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости. Вряд ли можно подыскать другой пример, который с такой яркостью, наглядностью, логической простотой и вместе с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий.

Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. И, конечно, только в старших классах уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса.

Существуют различные подходы к введению понятий комплексных чисел. Предлагаем для образовательного курса формально - логическую теорию. Не можем согласиться с таким изложением теории комплексных чисел, при котором определение новых чисел и действий над ними сразу даются в геометрической форме, т.к. со всех точек зрения комплексное число должно войти в сознание учащихся прежде всего как объект арифметики, т.е. как новое расширенное понятие числа, а не как геометрическое понятие, лишь в последствии получающее арифметическое истолкование.

Цель данной работы развивать мышление старшеклассников через формирование нового понятия - понятия комплексного числа.

Задачи :

- исследовать особенности математического мышления старшеклассников;

- исследовать процесс формирования понятий на материале темы "Комплексные числа".

Оглавление

- Введение

- Психолого-педагогические основы обучения и обоснование введения темы Комплексные числа в общеобразовательный курс средней школы 1.1. Мышление и учебная деятельность

- Определение понятия мышление

- Особенности мышления старшеклассников

- Определение учебной деятельности

- Учебная деятельность старшеклассников

- Процесс формирования понятий в учении

- Определение понятий

- Формирование и усвоение понятий Глава 2 Методические основы введения темы Комплексные числа в общеобразовательный курс

- Методика преподавания математики как наука

- Образовательный курс алгебры и начал анализа

- Цели обучения математике

- Организация учебно-воспитательного процесса

- Структура курса

- Логика темы Комплексные числа

- Объяснительная записка

- Почасовое планирование

- Тематическое планирование Глава 3. Описание эксперимента

- Методические основы и организация экспериментального исследования

- Описание результатов экспериментального исследования

- Диагностическая часть

- Формирующая часть Заключение

- Литература

- Приложения

Заключение

Таким образом, после работы с научной и методической литературой по изучаемой теме делаем следующие выводы:

- мышление старшеклассников становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным;

- учебная деятельность старших школьников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности;

- развитию мышления способствует работа над научными понятиями. Процесс формирования понятия - это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание.

Разрабатывая логическую структуру темы В"Комплексные числаВ" и после проведения эксперимента в школе можем сделать следующие выводы:

1) Изучение этой темы преследует следующие основные цели:

- повышение математической культуры учащихся;

- углубление представлений о понятии числа;

- дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.

2) Учащиеся способны в 10 классе усвоить понятие комплексного числа, как показало экспериментальное исследование.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа./Под ред. Яковлева Г.Н. Ч2 - М.: 1987.

2. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. - М.: Просвещение, 1975.

3. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. - М.: 1951.

4. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ 11. - М.: Просвещение, 1995.

5. Вопросы общей методики преподавания математики. - М.: Просвещение, 1979.

6. Демидов В.П. Методика преподавания математики. - Саранск, 1976.

7. Крамор В.С. Алгебра и начала анализа. - М.: Высшая школа, 1981.

8. Крутецкий В.А. Психология. - М.: Просвещение, 1980.

9. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. - М.: Просвещение, 1976.

10. Кузмин Р.О., Фадеев Д.К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. - Л.: Изд. Наркомпроса РСФСР, 1939.

11. Лылова О.В. Комплексные числа и их обобщение.//Дипломная работа. - Оренбург, 1994.

12. Метельский Н.В. Дидактика математики. - Минкс: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1982.

13. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика./Оганесян В.А. и др. - М.: Просвещение, 1980.

14. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. - М.: Просвещение, 1985.

15. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. Избранные вопросы математики. - М.: Просвещение, 1983.

16. Немов Р.С. Психология. Общие основы психологии. Т1. - М.: 1995.

17. Немов Р.С. Психология. Психология образования. Т2. - М.: 1995.

18. Педагогика./Под ред. Пидкасистого П.И. - М.: Пед. общество России, 1998.

19. Петровский А.В. и др. Психология. - М.: Академия, 1998.

20. Подласый И.П. Педагогика. - М.: Просвещение, 1996.

21. Поспелов Н.Н. и др. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. - М.: Педагогика, 1989.

22. Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Сборник нормативных документов. - М.: Дрофа, 1998.

23. Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Тематическое планирование. - М.: Дрофа, 1998.

24. Психология. Словарь. - М.: Изд. политической литературы, 1990.

25. Сергиенко Л.Ю. и др. Планирование учебного процесса по математике. - М.: Высшая школа, 1987.

26. Сластенин В.А. и др. Педагогика. - М.: 1998.

27. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. - М.: Академия пед. наук РСФСР, 1963.

28. Холодченко А.А. Проблемные задачи как основа для дифференциации обучения в старших классах.//Дипломная работа. - Оренбург, 1997.

Приложение 2 Теоретические основы курса "Комплексные числа"

§ 1 Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексного числа, их суммы и разности.

При изучении математики мы уже неоднократно встречались с обобщением понятия числа. До сих пор мы рассматривали лишь действительные числа. Если введение действительных чисел позволяет выражать результаты любых измерений, то с задачей решения уравнений дело обстоит иначе. Например, уравнения х2 + 1=0 и х2 +4х +5=0 не имеют решения во множестве действительных чисел, хотя коэффициенты этих уравнений - целые числа. Поэтому возникает необходимость в дальнейшем расширении понятия числа. Таким обобщением множества действительных чисел и является множество С комплексных чисел.

Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, т.к. может создать представление о комплексных числах как о чём-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в XVI в., они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: "Комплексное число - это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием". Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия "мнимые числа". Уже во времена К.Гаусса (1777-1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков XIX века О.Коши, Г.Римана и К.Вейерштрасса на базе комплексных чисел была построена одна из самых красивых математических дисциплин - теория функций комплексной переменной.

Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах:

а) натуральных чисел N={1,2,3,…,n,…};

б) целых Z={…,-2,-1,0,1,2,…};

в) рациональных Q={,n Z, n N};

г) действительных чисел R.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел - изменение любой величины. Арифметические операции над действительными числами снова дают действительные числа. Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных - из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя.

Ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и четвертой степеней, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел, присоединив к ним новое число i, такое, что i2=-1.Поскольку действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали "мнимой единицей" - она не выражала ни результатов измерения величин, ни изменений этих величин. Но включение числа i потребовало дальнейшего расширения множества чисел - пришлось ввести произведение этого числа на все действительные числа, т.е. числа вида bi, где bR, а также суммы действительных чисел и таких произведений, т.е. числа вида а+bi, где а,bR. Получившиеся при этом числа были названы комплексными, т.к. они содержали как действительную часть а, так и чисто мнимую часть bi.

Опр: комплексными числами называются числа вида а+bi (а и b - действительные числа, i2=-1).

Если z=а+bi - комплексное число, то а называют его действительной частью, а b-мнимой частью. Приняты обозначения а=Rе z, b=Jm z (от французских слов rе¢ele - действительный и imaginaire - мнимый). Числа а+bi, для которых b¹0, называют мнимыми числами, а числа вида bi, b¹0,- чисто мнимыми числами.

Множество комплексных чисел обозначается С.

Два комплексных числа z1=а+bi и z2=с+di считаются равными друг другу в том и только в том случае, если а=с и b=d. В частности, число а+bi будет считать равными нулю, если а=0 и b=0.

Запись z=а+bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами:

1. Сложение: (а+bi)+(с+di)=(а+с)+(b+d)i

Например , (2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i.

2. Умножение: (а+bi)*(с+di)=(ас-bd)+(аd+bс)i , причем нужно помнить, что i2 =-1. Эту формулу можно получить, умножая

(а+bi) на (с+di) по правилам действий над многочленами.

Например, (1+2i)(3-i) =3*1-1*i+6i-2i2 =3+2-i+6i=5+5i.

Рассмотрим степени числа i :

Вообщее, i4n+r =(i4)n*ir =(1)n *ir =ir.

Получаем, i4m=1; i4m+1=i; i4m+2=-1; i4m+3=-i.

Например, i218=i4*54+2=i2=-1.

3. Вычитание: (а+bi) - (с+di) = (а-с) + (b-d)i

Например, (5+4i) - (2-3i) = (5-2) + (4+3)i = 3+7i.

Опр: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.

Если z=а+bi, то сопряженное число имеет вид z=а-bi. Заметим, что z+z=(а+bi)+(а-bi)=2а; z*z=(а+bi)(а-bi)=а2+b2 . Следовательно, сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

4. Деление: на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

а+bi = (а+bi)(с-di) = (ас+bd)+(bс-аd)i = ас+bd + bс-аd i

с+di (с-di)(с-di) с2 + d2 с2+d2 с2+d2

Например, 10+15i = (10+15i)(1-2i) _ 10-20i +15i +30 = 40-5i = 8-i

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Как известно, действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. А комплексное число естественно выражать точкой на координатной плоскости.

Каждому комплексному числу а+bi поставим в соответствии точку М(а;b) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна действительной части комплексного числа, а ордината - мнимой части. Каждой точке М(а; b) координатной плоскости поставим в соответствие комплексное число а+bi (рис.1).

Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Сама координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, которая называется действительной осью, а чисто мнимым числам - точки оси ординат, которая называется мнимой осью.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа а+bi как радиус-вектора ОМ (см. рис.1), т.е. вектора, исходящего из начала координат О (о,о) и идущего в точку М (а;b). Разумеется, вместо радиус-вектора ОМ можно взять любой равный ему вектор.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операций над ними. При сложении чисел z1=а1+b1i и z2=а2+b2i складываются их действительные и мнимые части. При сложении соответствующих им векторов ОМ1 и ОМ2 складываются их координаты. Иными словами, если числу z1 соответствует вектор ОМ1, а числу z1-вектор ОМ2, то числу z1+z2 соответствует вектор ОМ1+ОМ2, а числу z1-z2 - вектор ОМ1- ОМ2.

Перейдем к рассмотрению понятия модуля комплексного числа. Опр: Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу.

Для модуля числа z используется обозначение /Z/ или r. По теореме Пифагора (см. рис.1) для модуля комплексного числа z=а+bi легко получается следующая важная формула: /Z/=Öa2+b2, выражающая модуль числа через его действительную и мнимую части. Отмети, что /z/ = /-z/ = /z/, z*z = /z/2 = /z/2.

Упражнения:

4. Найдите комплексные числа:

а) z =i + 6i+1 б) z = i13+ i14 + i15 +i16 ; в) z = 3+1 : 2

г) z = (1+2i)3 - (1-i)3 ; д) z = (2+i)5 е) z = 5+12i + (1+2i)2

ж) z = (-0,5 + i Ö3) 3

5. Изобразить геометрически комплексные числа:

а) 3+0i; б) 0-5i; в) -3+2i; г) 1+i.

6. Найдите действительную часть комплексного числа:

мнимую : z= (2-i)3 (2-11i).

7. Найти модуль к.ч. z= -2+ i*5, число, сопряженное данному, изобразить их геометрически.

8. Выполнить сложение алгебраически и дать геометрическую интерпретацию: z= z1 +z2 +z3, где z1 = 3-2i; z2=-3+4i; z3 = 2- i.

9. Найти два действительных числа Х и У, удовлет их равенствам:

а) 2i + iу -2 = 3i - 3 =у

х х

б) (1+i)x + (1-i)у = 3-i;

в) (2x-3уi)(2x+3уi) +xi = 97+2i.

§2. Действия над комплексными числами, заданными

в алгебраической форме. Решение задач.

Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам:

1. Обозначение числовых множеств и их соотношения.

2. Почему появилась необходимость введения комплексных чисел?

3. Определение комплексных чисел, частные случаи, основные соглашения.

4. Определения сопряженных и противоположных комплексных чисел, модуля комплексного числа.

5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, сопряженных и противоположных комплексных чисел.

6. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (определения и свойства).

7. Действия над комплексными числами, геометрическая интерпретация их суммы и разности.

8. Действия над сопряженными и противоположными комплексными числами (их сумму и разность показать геометрически).

9. Можно ли сравнивать комплексные числа?

10. Какие закономерности имеются у степени мнимой единицы.

Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное содержание одного варианта:

1. Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; б) (3+5i) - (4-i) = . . . .;

2. Возвести в степень: а) i123 = . . . ; б) (i-1)2 = . . . .

3. Вычислить: (Ö3 + iÖ2) (Ö3 - iÖ2) = . . . .

4. Построить слагаемые и сумму комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-5i; z2=2+3i.

5. Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-i; z2=3i.

Упражнения:

1. Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]2 =; б) а-bi - i b-аi = ;

в) i100 + i98 +i63 =;

2. Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа Х и У, если а) 2+5i x - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x2 -7x +9yx = y2i +20i -12.

3. При каких действительных значениях Х и У комплексного числа

а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y2 - 4 - 10x и 8y2 + 20i7 Будут сопряженными?

4. Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;

б) z2 - (5+2i) z + 5 + 5i =0; в) z2 + z =0; г) (1-i) z - 3iz = 2-i; д) z*z + 2z =3+2i;

5. Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz = i-2i;

г) z2 + 3/z/ =0; д) z2 + /z/2 =0.

8. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием:

а) /z/ <1; б) /z/ =2; в) Rez > 1; г) Jmz < -2; д) /z+i/ =2; е) /z-2/ <3; ж) /z-4 +i/ £5.

7. Точка А соответствует комплексному числу z = 3+ i4. Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно: а)оси Ох; б) оси Оу; в) начала координат?

8. На комплексной плоскости даны точки z1, z2 , z3 являющиеся вершинами некоторого треугольника. Найдите все комплексные числа, соответствующие точками, дополняющим данный треугольник до параллелограмма.

9. Изобразить: а) /z/ £3 б)/z/³ 1 в) /z-1/³ 2

г) 1£ /z-1/£ 2 д) /z/ £3

§ 3 Тригонометрическая форма комплексного числа.

Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.

Пусть точка А соответствует комплексному

числу z=а+bi. Тогда длина вектора ОА называется

модулем числа z, а радианная мера угла,

образованного этим вектором с

положительным направлением действительной оси, - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz = j (см. рис. 2).

Для числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа.

Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2р.

На рис. 2 мы видим, что sin j = b/r, а cos j =а/r, отсюда а=r cos j и b=r sin j, где r =Öa2 + b2, т.о. действительная и мнимая части комплексного числа z=а+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент j. Следовательно, комплексное число z может быть записано в виде z=r cos j + i r sin j=r(cos j+i sin j) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:

1. Найти радиус r = Öa2 + b2

2. Вычислить tg j1 =|b/а|.

3. По знакам а и b определить четверть, в которой находится число z.

4. Найти j, причем, если число находится:

а) в I четверти, то j = j1;

б) во II четверти, то j = р - j1;

в) в III четверти, то j = р + j1;

г) в IV четверти, то j = -j1, или j = 2р -j1.

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для j по известным значениям sin j и cos j, заполним таблицу и будем ею пользоваться:

р

р

р

р

р

5р

3р

2р

3р

4р

4р

7р

5р

7р

2р

Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cos j + i sin j) числовых значений cos j и sin j, затем раскрываются скобки и производятся упрощения.

Например: 1) z = 1+i /z/ r =Ö 12+12 =Ö2

т.о z = а + bi = 1 + i = Ö2 (cos 450+ isin 450 =Ö2 (cos р + sin р)

2. z = 6( cosp + isin р) = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 Þz = -6.

Упражнения:

1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

а) Ö3-i ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1 - Ö3 i е) -3 (cos р + isin р

ж) sin 48° + cos 48° ; з) 1 + cos 10p + isin 10p

2. Представьте в алгебраической форме комплексные числа :

а) z = 2 (cos 225° + isin 225°) ; б) z=3 (cos0° + isin 0°) ;

в) z = 5(cos р + isin р ; г) z = 2(cos р + isin р

3. Построить комплексные числа? А) z=2 (cos р + isin р )

б) z = cosр + isin р ; в) z =2 (cos 3р + isin 3р