Дипломная работа на тему: ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 1. Предварительные сведения

Введение

Актуальность темы. На полях сочинения Диофанта "Арифметика", в котором исследовались рациональные и целые решения уравнения Пифагора x2 + y2 = z2, Пьер Ферма записал одно из самых достопримечательных замечаний в истории математики:

"Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось". Таким образом, Большая или Великая, а также Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение xn + yn = zn неразрешимо в натуральных числах при натуральном n > 2 .

Если термин "Последняя" не имеет разумных объяснений, то величина вклада Великой теоремы Ферма в развитие математики действительно велика: по сути дела, П. Ферма дал толчок развитию новой для своего времени области арифметики, называемой теперь диофантовым анализом и исследующей целые решения диофантовых уравнений Р(x1 , … , xn) = 0, где Р(x1 , … , xn) - многочлен с целыми коэффициентами от переменных x1 , … , xn . Само по себе уравнение xn + yn = zn не имеет большого значения для математики. Однако, не поддаваясь долгое время решению (доказательство отсутствия решений - это тоже решение), оно сыграло важную роль для развития теории алгебраических чисел, теории идеалов, алгебраической геометрии и математики в целом: попытки доказательства Великой теоремы Ферма привели к открытию новых методов, обогативших многие смежные области математики.

Более подробно история Великой теоремы Ферма будет изложена в § 2 главы I. Пока же лишь упомянем, что в доказательстве этой теоремы (для разных n) участвовали многие известные (и даже великие) математики: Л. Эйлер, А. Лежандр, Ж.Л. Лагранж, К.Ф. Гаусс, П.Л. Чебышёв, Э. Куммер, Э. Вайлс, Р. Тейлор и др. В то же время после завещания в 1908 г. Паулем Вольфскелем премии в 100 тысяч германских марок тому, кто первым опубликует доказательство, научный мир заполонили дилетантские "работы", издаваемые, как правило, за собственный счёт, с элементарными "доказательствами" Великой теоремы. С появлением Интернета поток таких псевдогениальных прозрений многократно усилился.

Уже доказательство Л. Эйлера Великой теоремы Ферма для показателя n = 3 неэлементарно. Оно явилось одним из истоков теории алгебраических чисел. Ещё более неэлементарны исследования Э. Куммера, существенно расширившего область показателей, для которых Великая теорема Ферма стала доказанной. В XX столетии его методы были усовершенствованы и дополнены благодаря усилиям У. Вандивера, Г. Ламе и Э. Лемера. К 80-м годам XX в. с использованием ЭВМ неразрешимость уравнения хn + yn = zn в натуральных числах была установлена для всех n 2125000 (З. Вагштафф, 1976 г.). Если принять во внимание, что число 2125000 записывается 37628-ю цифрами, то поиски контрпримера к Великой теореме Ферма стали совершенно безнадежным занятием.

Новую эру в развитии истории Великой теоремы Ферма никто не заметил. Между тем, в 1955 г. экстравагантный японский математик Ютака Танияма (1927-1958) сформулировал следующую смелую гипотезу: всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна (более подробно об эллиптических кривых см. § 1 главы II). Вначале её не принял всерьёз ни один из математиков-профессионалов: уж очень она казалась неправдоподобной. Однако в 1970-е годы работы Г. Шимуры и А. Вейля привлекли внимание к ней. Наконец, в 1985 г. немецкий математик Г. Фрей предположил, а американец К. Рибет доказал, что из гипотезы Таниямы следует Великая теорема Ферма.

Кульминация наступила, когда 23 июня 1993 г. математик из Принстона Эндрю Вайлс в докладе на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания) анонсировал решение проблемы Ю. Таниямы (точнее той её части, которой достаточно для обоснования Великой теоремы Ферма). Однако, в начале декабря 1993 г., когда рукопись Э. Вайлса уже готова была отправиться в печать, в его доказательстве были обнаружены пробелы. Автор извинился и попросил два месяца для исправления. Только через год с небольшим появилось полное доказательство но уже двух авторов - Э. Вайлса и его ученика Р. Тейлора [6, 7]. Новых пробелов в этих работах специалистами пока не найдено. Позже усилиями целой группы специалистов, среди которых был и Р. Тейлор, была доказана и полная версия гипотезы Таниямы.

Следует отметить, что доказательство Вайлса-Тейлора является сплавом глубоких математических идей, обогащающих не только теорию чисел и алгебру, но и геометрию эллиптических кривых, и анализ модулярных форм. Сам Вайлс считает, что создал новую математику. Тем обиднее, что после более десяти лет с момента опубликования доказательства Вайлса-Тейлора в Российской математической среде хранится полное молчание по поводу революционных методов Э. Вайлса (так же как и по поводу не менее революционного доказательства гипотезы Пуанкаре Г. Перельмана).

Следует отметить, что предложенное Э. Вайлсом сложное синтетическое доказательство Великой проблемы Ферма, занимающее в общем объёме более 120 страниц, ставит большие вопросы перед образованием: как готовить специалистов, способных, если не разобраться в доказательстве, то воспринять его понятийную базу и основные идеи ? Тот же вопрос повторен Г. Перельманом в доказательстве гипотезы Пуанкаре…

Наконец, следует упомянуть о новом подходе к доказательству трудных теоретико-числовых проблем (в том числе и Великой теоремы Ферма), наметившемся после формулировки в 1986 г. Массером и Остерле так называемой abc-гипотезы. Её формулировка приведена в § 3 главы II, как и обсуждение некоторых нетривиальных следствий этой гипотезы. Хотя она не доказана, но подтверждается справедливостью её аналога для многочленов и расчётами на ЭВМ, показывающими, что контрпример искать бесполезно.

Цель дипломной работы: изучить доступную литературу по истории Великой теоремы Ферма, изложить некоторые элементарные подходы к обоснованию её частных случаев, а также новые методы - с использованием теории эллиптических кривых и привлечением abc-гипотезы.

Для достижения цели решались следующие задачи:

изучить основные понятия и результаты, связанные с теорией диофантовых уравнений, теорией эллиптических кривых и abc-гипотезой;

изучить метод бесконечного спуска и на его основе доказательство теоремы Ферма для n = 4;

проанализировать доказательство Эйлера для n = 3 и суть идей Куммера;

ознакомиться с выводом К. Рибета Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы;

изучить некоторые результаты об abc-гипотезе и вывод из неё Великой теоремы Ферма;

по возможности проиллюстрировать теоретические результаты примерами;

дать полное, и по возможности подробное изложение результатов, доступное пониманию студентов математических факультетов вузов.

Математические методы исследования: в работе используются геометрические, аналитические, алгебраические методы.

Структура работы: Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Во введении дан краткий исторический обзор, сформулированы цели и задачи работы, описана её общая структура. Заключение содержит основные выводы о результатах исследования. Список использованной литературы включает 10 наименований. Общий объём работы - 67 страниц.

Первая глава "Великая теорема Ферма и алгебраические числа" содержит элементарное доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 4 и обзор методов и идей Эйлера для n = 3 и Куммера для регулярных простых показателей. Более подробно: § 1 главы содержит вспомогательные сведения о делимости целых чисел и их сравнимости по модулю, в § 2 даётся описание всех пифагоровых троек и краткая история Великой теоремы Ферма, § 3 включает описание метода бесконечного спуска и доказательство Великой теоремы Ферма для n = 4, а § 4 - обзор идей Эйлера и Куммера её доказательства с помощью теории алгебраических чисел для n = 3 и для регулярных простых показателей.

Вторая глава "Великая теорема Ферма и abc-гипотеза" содержит посильное изложение вывода Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы (§ 1), а также некоторые результаты по abc-гипотезе (§§ 2-4): в § 2 abc-гипотеза формулируется и обосновывается для многочленов, в § 3 формулируется и обсуждается abc-гипотеза для натуральных чисел, а § 4 содержит вывод из неё некоторых теоретико-числовых результатов, включая Великую теорему Ферма.

Теоретическая и практическая значимость: Дипломная работа имеет теоретическое значение. Хотя она не содержит новых, не известных специалистам математических результатов, но даёт по возможности связное и обоснованное описание трудных, разнородных и разбросанных в литературе методов и идей. Представленное изложение материала по силам студентам математических факультетов вузов, а некоторые разделы работы - даже школьникам старших классов. Поэтому дипломная работа может быть использована в качестве учебного материала для изучения вопросов, связанных с представленными в ней темами, в учебных курсах и спецкурсах для студентов физико-математических специальностей вузов и на факультативных занятиях в школах.

Уровень самостоятельности. Основной творческий вклад автора при написании данной работы состоял в изучении большого объёма трудного для восприятия разнообразного теоретического материала, самостоятельном разборе доказательств (иногда - с помощью научного руководителя), подборе всех иллюстративных примеров и проведении вычислений в них.

Доклад автора по материалам дипломной работы занял третье место на секции "Математика" традиционных Менделеевских чтений в ТГСПА им. Д.И. Менделеева в 2012 г.

Оглавление

- Введение

- ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 1. Предварительные сведения

- Диофантовы уравнения, пифагоровы тройки и Великая теорема Ферма

- 3. Метод бесконечного спуска и доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n 4

- Сводка результатов от Эйлера до Куммера ГЛАВА II. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И abc-ГИПОТЕЗА

- Гипотеза Таниямы и доказательство Вайлса Великой теоремы Ферма

- abc-гипотеза и Великая теорема Ферма для многочленов

- abc-гипотеза для натуральных чисел

- Некоторые следствия abc- и abc2-гипотез ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- Литература

Список литературы

1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1972.

2. Бухштаб А.А. Теория чисел. - СПб: Издательство "Лань", 2008.

3. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. - М., 1965.

4. Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. - М., 1961.

5. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. - М.: Мир, 1980.

6. Wiles А. Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem // Annals оf Math., 1995, Vol. 141, Р. 443-552.

7. Wiles А., Taylor R. Ring theoretic properties оf certain Hecke algebras // Annals оf Math., 1995, Vol. 141, Р. 553-572.

8. Гипотеза АВС // Электронный ресурс. - Режим доступа:://mindspring.narod.ru/math/ega/Lang/HypotABC.htm

9. Математическая энциклопедия [Электронный ресурс] / ООО "РМГ Мультимедиа". - Электрон. текстовые и граф. дан. - М.: РМГ Мультимедиа, Большая Российская Энциклопедия, 2006. - (М: ООО "РМГ Компании", 2006). - 2 электронных опт. диска (СD-ROM). - Систем. требования: Wn 98/Ме/2000/XР, Pentium 166, 64 Мb RAM.

10. Следствия из гипотезы о тройках АВС // Электронный ресурс. - Режим доступа: http://boinc.ru/doc/abc/abc_conjecture.ru/consequences.html