Решение задач на тему: Комплексные числа в планиметрии

Введение

Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным, векторным и другими методами, требующими от решающего порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое решение может быть очень коротким.

В данной работе излагаются основы метода комплексных чисел в применении к задачам элементарной геометрии на плоскости и доказательству некоторых основных планиметрических теорем.

Конечно, одна работа не может вместить все существующие теоремы и задачи. Здесь будут рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых будет решен ряд задач, наиболее наглядно показывающих простоту этого метода.

Оглавление

- Введение.3

- Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка

- Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек

- Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

- Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник

- Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел

- Две прямые. Расстояние от точки до прямой

- Заключение...30

- Список использованной литературы......31

Заключение

Многие задачи элементарной геометрии можно изящно и просто решать при помощи комплексных чисел. Однако, значение комплексных чисел заключается не только в изяществе и краткости решения задач посредством этих чисел, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения комплексных чисел при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Конечно, данная работа не может вместить в себя все теоремы и задачи, к тому же многие из них еще не сформулированы. Здесь рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых были представлены задачи и их решения.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь мы остановились на вопросе применения комплексных чисел к решению планиметрических задач, а что, если комплексные числа применять к решению стереометрических задач?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: метод комплексных чисел в применении к решению задач по элементарной геометрии можно давать не только студентам высших учебных заведений, но и старшим школьникам на факультативных занятиях. Так как этот метод прост в применении, использует аппарат комплексных чисел, что, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Дает возможность посмотреть на задачи по геометрии с другой стороны, приучить к тому, что все наглядные задачи (правильность которых видна из чертежа) можно решать аналитическим способом, вообще не прибегая к чертежу.

Список литературы

1. З. А. Скопец "Геометрические миниатюры".- М.: Просвещение, 1990

2. Л. И. Волковский "Сборник задач по теории функций комплексных переменных".- М.: Просвещение, 1985

3. И. И. Привалов "Введение в теорию функции комплексного переменного".- М.: Просвещение, 1988