Магистерская диссертация на тему: Медианы треугольника и их свойства. Открытие немецкого математика Лейбница

Введение

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не символ. Треугольник - атом геометрии.

Треугольник неисчерпаем - постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. Мы хотим рассказать о медиане треугольника и ее свойствах, а так же о применении медиан.

Сначала вспомним, что медиана треугольника - это отрезок соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы имеют множество свойств. Но мы рассмотрим одно свойство и 6 различных его доказательств. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (центром масс) и делятся в отношении 2:1.

Существует медианы не только треугольника, но и тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани называется медианой тетраэдра. Мы так же рассмотрим свойство медиан тетраэдра.

Медианы используются в математической статистике. Например, для нахождения среднего значения некоторого набора чисел.

Оглавление

- Введение

- Медианы треугольника и их свойства

- Открытие немецкого математика Г. Лейбница

- Применение медиан в математической статистике

- Медианы тетраэдра

- Шесть доказательств теоремы о медианах Заключение

- Список использованных источников и литературы

- Приложение

Заключение

Исходя из проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1. Одну теорему можно доказать разными способами. Это гораздо полезнее. Ведь ее можно изучить с разных сторон, используя различные методы и темы курса 8-10 классов.

2. Медиана была изучена многими учеными, но особый вклад в ее развитие внес немецкий ученый Г. Лейбниц. Он обнаружил замечательный факт: сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки.

Из этой теоремы следует, что точка на плоскости для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной, - это точка пересечения медиан этого треугольника.

3. Медианы используются не только в геометрии, но и в физике, и в статической математике. Для вычисления среднего арифметического и др.