Дипломная работа на тему: Основные понятия и примеры. Связь систем замыканий с операторами замыкания

Введение

Важную роль в математике играет множество подалгебр данной алгебры относительно отношения включения . Оно образует полную решётку с некоторыми характерными свойствами. Понятие замыкания также играет важную роль в алгебре и топологии. В данной дипломной работе рассматриваются основные свойства систем замыканий на множествах, взаимосвязь систем замыканий с операторами замыкания и соответствиями Галуа. Соответствия Галуа представляют собой достаточно интересный класс объектов. Они возникли и получили своё название из теории Галуа, но спустя некоторое время стали применяться не только в самой теории, но и во многих других областях математики. В данной работе соответствия Галуа будем рассматривать в качестве одного из наиболее важных примеров систем замыканий.

Целью квалификационной работы является изучение абстрактных систем замыканий на множестве.

Задачи:

1. рассмотреть понятие системы замыкания, проиллюстрировать это понятие на примерах;

2. сформулировать и доказать теорему о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания;

3. рассмотреть понятие алгебраических систем замыканий, сформулировать и доказать теорему об описании структуры алгебраических систем замыканий;

4. рассмотреть понятие соответствия Галуа, примеры соответствий Галуа. Установить связь соответствий Галуа с системами замыканий.

Исходя из цели и задач, дипломная работа состоит из пяти параграфов. В качестве первого шага введём необходимые определения и докажем ряд простых предложений. Этому отводится параграф 1.

В параграфе 2 докажем основную теорему об операторе замыканий, которая даёт прямой выход на соответствия Галуа.

В параграфе 3 сформулируем и докажем одну из наиболее важных теорем о структуре алгебраических систем замыканий.

Параграф 4 будет полностью посвящен соответствиям Галуа: определение, основные примеры и их связь с системами замыканий.

Последний параграф посвящен решению задач.

Основной литературой при написании квалификационной работы стали монографии Кона П. ([1]) и Куроша А. Г. ([2], [3]). Остальные источники ([4], [5], [6], [7]) использовались как дополнительная справочная литература.

Для удобства в данной работе использованы следующие обозначения:

∆ - начало доказательства;

в-I'5е - конец доказательства.

В работе принята сквозная двойная нумерация примеров, где первое число - номер параграфа, а второе - номер примера в параграфе.

Основными результатами работы являются:

1. доказательство теоремы о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания: Каждая система замыканий D на множестве А определяет оператор замыкания � на А по правилу �(X) = ∩ Y D | YX . Обратно, каждый оператор замыкания � на А определяет систему замыканий D = XА | �(X) = X .

2. доказательство теоремы о структуре алгебраических систем замыканий: Система S(А) подалгебр универсальной алгебры А является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве А, то для подходящего множества алгебраических операций Щ можно определить такую структуру универсальной алгебры на А, что S(А) = D.

3. установление связи соответствий Галуа с системами замыканий на конкретных примерах.

4. решение задач.

Оглавление

- Введение 3

- Основные понятия и примеры

- Связь систем замыканий с операторами замыкания

- Алгебраические системы замыканий

- Соответствия Галуа

- Задачи

- Библиографический список 32

Список литературы

1. Кон П. Универсальная алгебра - М.: Мир, 1968. - 352 с.

2. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре - М.: Наука, 1973. - 400 с.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры - СПб.: Лань, 2006. - 432 с.

4. Оре О. Теория графов - М.: Наука, 1968. - 336 с.

5. Общая алгебра. Т. 1 / под общ. ред. Л. А. Скорнякова - М.: Наука, 1990. - 592 с.

6. Постников М. М. Теория Галуа - М.: Издательство физико-математической литературы, 1963. - 220 с.

7. Риге Ж., Бинарные отношения, замыкания, соответствия Галуа // Кибернетический сборник / под ред. А. А. Ляпунова, О. Б. Лупанова. - вып. 7. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - С. 129-185.