Решение задач: Задачи на математический анализ, определённые и неопределённые интегралы

Для начала рассмотрим первое задание. Пусть дана функция f(x) = 3x^2 - 2x + 5. Найти неопределенный интеграл этой функции. Итак, интеграл от функции f(x) будет равен ∫(3x^2 - 2x + 5)dx. Произведем интегрирование каждого из членов функции по отдельности. Интеграл от 3x^2 dx равен x^3, интеграл от -2x dx равен -x^2, интеграл от 5 dx равен 5x. Таким образом, неопределенный интеграл функции f(x) равен x^3 - x^2 + 5x + C, где C - произвольная постоянная.

Перейдем ко второму заданию. Дана функция g(x) = (4x^3 - 6x^2 + 2) / x. Необходимо найти неопределенный интеграл этой функции. Разделим дробь на части: 4x^3 / x - 6x^2 / x + 2 / x. Интеграл от 4x^3 / x равен интегралу от 4x^2 dx, интеграл от 6x^2 / x равен интегралу от 6x dx, интеграл от 2 / x равен 2ln|x|. Итак, неопределенный интеграл функции g(x) равен x^4 - 3x^2 + 2ln|x| + C.

Продолжим с третьим заданием. Пусть дана функция h(x) = sin(x) + cos(x). Найти неопределенный интеграл этой функции. Интеграл от sin(x) dx равен -cos(x), интеграл от cos(x) dx равен sin(x). Следовательно, неопределенный интеграл функции h(x) равен -cos(x) + sin(x) + C.

Таким образом, выполнив подробные рассчеты, мы нашли неопределенные интегралы для каждой из заданных функций. Важно помнить, что при решении подобных задач необходимо следить за каждым шагом и не упускать мелкие детали, чтобы получить правильный ответ.