Решение задач: Матанализ, 1 курс, пределы функций и последовательностей, часть 8.

В предыдущих частях мы рассмотрели основные понятия и правила нахождения пределов функций и числовых последовательностей. Теперь перейдем к решению 10 задач, которые позволят углубить наши знания и навыки в этой области.

1. Найти предел функции f(x) = x^2 + 3x при x стремящемся к бесконечности. Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к бесконечности, необходимо найти выражение, которое принимает функция при достаточно больших значениях x. В данном случае, при бесконечном росте x, главную роль играет член x^2. Отсюда следует, что предел функции равен бесконечности.

2. Найти предел последовательности a_n = n! при n стремящемся к бесконечности. Факториал n! определен как произведение всех натуральных чисел от 1 до n. При стремлении n к бесконечности, произведение растет очень быстро. Таким образом, предел данной последовательности равен бесконечности.

3. Найти предел функции f(x) = sin(x)/x при x стремящемся к нулю. Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к нулю, можно воспользоваться известным пределом sin(x)/x = 1. Отсюда следует, что предел функции равен 1.

4. Найти предел последовательности a_n = (-1)^n/n при n стремящемся к бесконечности. Разделим данную последовательность на две подпоследовательности: a_n = 1/n при четном n и a_n = -1/n при нечетном n. Обе подпоследовательности при стремлении n к бесконечности стремятся к нулю. Следовательно, предел данной последовательности не существует.

5. Найти предел функции f(x) = ln(x)/(1/x) при x стремящемся к нулю. Преобразуем данную функцию, учитывая, что ln(x) = -ln(1/x). В итоге получим f(x) = -xln(x). После применения правила Лопиталя, получим предел функции, равный 1.

6. Найти предел последовательности a_n = (2^n + 3^n)^(1/n) при n стремящемся к бесконечности. Воспользуемся свойством корня n-ной степени: (a * b)^(1/n) = (a^(1/n) * b^(1/n)). Применив его к данной последовательности, получим a_n = (2 + 3)^(1/n) = 5^(1/n). Поскольку основание степени больше 1, предел последовательности равен 1.

7. Найти предел функции f(x) = (e^x - 1)/x при x стремящемся к 0. Данная функция представляет собой разность e^x и 1, деленную на x. Применяя правило Лопиталя, получим предел функции, равный 1.

8. Найти предел последовательности a_n = (n^2 + 4)/(3n^2 + 2) при n стремящемся к бесконечности. Для нахождения предела данной последовательности, можно привести ее к простейшему виду, разделив числитель и знаменатель на n^2. В результате получим a_n = (1 + 4/n^2)/(3 + 2/n^2). При стремлении n к бесконечности, обе дроби стремятся к 0. Следовательно, предел данной последовательности равен 1/3.

9. Найти предел функции f(x) = (2^x + 3^x)^(1/x) при x стремящемся к бесконечности. Опять же, можно воспользоваться свойством корня n-ной степени, применив его к данной функции. Получим f(x) = (2^(1/x) + 3^(1/x)). Поскольку оскнования степени больше 1, предел функции равен 2.

10. Найти предел последовательности a_n = (n - 1)^(1/2^n) при n стремящемся к бесконечности. В данной последовательности, основание степени меньше 1, поэтому предел последовательности равен 1.

Эти задачи позволят вам более глубоко понять и применить правила нахождения пределов функций и числовых последовательностей. Решение этих задач требует применения не только базовых правил, но и продвинутых методов, включая правило Лопиталя и свойства степени и корня. Закрепите свои знания, решая подобные задачи, чтобы быть уверенными в своих навыках и подготовленности к экзамену.