Решение задач: Решение уравнений, содержащие комплексные числа

1. Выполнить операции с комплексными числами:
а) (3 + 2i) + (1 - i)
б) (5 - 4i) - (2 + 3i)
в) (2 + i) * (3 - i)
г) (4 - 2i) / (1 + i)

2. Найти модуль комплексного числа:
а) |5 + 12i|
б) |-3 - 4i|
в) |2 - i|

3. Найти аргумент комплексного числа:
а) arg(3 + 4i)
б) arg(-2 - 2i)
в) arg(1 + i)

4. Решить уравнения, содержащие комплексные числа:
а) z^2 + 4z + 13 = 0
б) 2z^2 - (1 - i)z + 3 + 2i = 0

Комплексные числа представляют собой числа вида a + bi, где a и b - это действительные числа, а i - мнимая единица, для которой выполняется условие i^2 = -1. Операции с комплексными числами выполняются так же, как и операции с обычными числами, с тем отличием, что при умножении двух комплексных чисел используется формула разности квадратов для мнимой единицы: i^2 = -1.

Модуль комплексного числа находится по формуле |z| = sqrt(a^2 + b^2), где a и b - действительная и мнимая части числа соответственно. Модуль комплексного числа представляет собой расстояние от числа до начала координат в комплексной плоскости.

Аргумент комплексного числа - это угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором, соединяющим начало координат с точкой, соответствующей комплексному числу. Аргумент комплексного числа полагается в радианах и находится из формулы: arg(z) = arctg(b/a), где a и b - действительная и мнимая части числа соответственно.

Решая уравнения, содержащие комплексные числа, можно применять известные методы решения квадратных уравнений, заменяя при этом комплексные числа на соответствующие переменные. Полученные корни уравнения будут комплексными числами.