Решение задач: Матанализ, 1 курс, пределы функций и последовательностей, часть 6.

При решении задач на нахождение пределов функций и числовых последовательностей необходимо уметь применять различные методы. Рассмотрим 10 задач, в которых мы будем использовать эти методы.

1. Найдем предел функции f(x) = ln(x) при x стремящемся к бесконечности. Используем определение предела, с которым мы уже знакомы: предел функции f(x) равен L, если для любого положительного числа ε существует положительное число N, такое что для всех x > N выполняется |f(x) - L| < ε. В данной задаче, когда x стремится к бесконечности, мы получаем предел f(x) равный бесконечности.

2. Рассмотрим функцию g(x) = sin(x) при x стремящемся к пи/2. Применяем определение предела и получаем, что предел функции g(x) равен 1.

3. Пусть дана функция h(x) = x^2 при x стремящемся к 2. Тогда предел функции h(x) равен 4.

4. Решим задачу на нахождение предела числовой последовательности {an} = (-1)^n/n при n стремящемся к бесконечности. Используем метод альтернирующих знаков и получаем, что предел этой последовательности равен 0.

5. Рассмотрим числовую последовательность {bn} = 1/n^2 при n стремящемся к бесконечности. Используем метод сравнения сходимости и показываем, что эта последовательность сходится к 0.

6. Пусть дана числовая последовательность {cn} = (2^n)/(n!) при n стремящемся к бесконечности. Применяем метод Даламбера и получаем, что предел этой последовательности равен 0.

7. Решим задачу на нахождение предела функции f(x) = x*sin(1/x) при x стремящемся к 0. Используем замечательный предел и получаем, что предел функции f(x) равен 0.

8. Рассмотрим функцию g(x) = ((x-1)/(x+1))^x при x стремящемся к бесконечности. Применяем метод бесконечно малых и получаем, что предел функции g(x) равен 1.

9. Пусть дана функция h(x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1) при x стремящемся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на x^2 и получим, что предел функции h(x) равен 1.

10. Решим задачу на нахождение предела числовой последовательности {an} = (n^2)/(2^n) при n стремящемся к бесконечности. Применяем метод Даламбера и получаем, что предел этой последовательности равен 0.

В этих задачах мы использовали различные методы, такие как определение предела, метод альтернирующих знаков, метод сравнения сходимости, метод Даламбера и замечательный предел. Умение корректно применять эти методы позволяет найти пределы функций и числовых последовательностей и более глубоко понять их свойства.