Магистерская диссертация на тему: Ст. преподаватель кафедры алгебры и геометрии

Введение

Дискретная математика в настоящее время играет большую роль в разработке принципов работы компьютера, т.к. работа компьютера представляет собой выполнение последовательности дискретных шагов, приводящих к решению поставленной перед компьютером задачи.

Рассмотренная мною тема "Возвратные задачи" является небольшой частью дискретной математики, поэтому данная тема на сегодняшний момент является не менее актуальной.

Цель моей работы - изучить имеющийся теоретический и практический материал по данной теме и применить его к решению задач.

Данная работа состоит из введения, двух глав и заключения. Во введении приводятся примеры рекуррентных соотношений, с помощью которых можно задать некоторые последовательности, а так же рекуррентные соотношения, которые могут использоваться при решении задач. В первой главе описываются три задачи: задача о ханойской башне, задача о разрезании пиццы и задача Иосифа Флавия, а также доказываются некоторые факты, которые в литературе предлагаются для самостоятельного доказательства. Вторая глава посвящена решению задач на данную тему. В заключении делаются выводы о проделанной работе и указываются дальнейшие перспективы.

В основе решения возвратных задач лежит идея возвратности (или рекуррентности), согласно которой решение всей задачи зависит от решения той же самой задачи меньших размеров.

Тема "Возвратные последовательности" не является изолированной, нигде не используемой теорией. Наоборот, возвратные последовательности близки к школьному курсу математики (арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательности квадратов и кубов натуральных чисел и т.д.), используются в высшей алгебре, геометрии, математическом анализе и других математических дисциплинах. Теория возвратных последовательностей составляет особую главу математической дисциплины, называемой исчислением конечных разностей; представляет собой частную главу о последовательностях.

Таким образом, возвратные последовательности являются настоящей маленькой теорией, законченной, простой, ясной.

Определение: Пусть имеется последовательность {un}:

Если существует натуральное число к и числа а1, а2, а3, …,aк (действительные или мнимые) такие что, начиная с некоторого номера n и для всех следующих номеров

un+к=а1*un+к-1 + а2*un+к-2 +…+ак*un при n ≥ 1 (2)

то последовательность (1) называется возвратной последовательностью порядка к , а соотношение (2) - возвратным (рекуррентным) уравнением порядка к.

Таким образом, зная к первых членов последовательности можно определить всю последовательность, т.е. вычислить любой наперед заданный член последовательности.

С помощью рекуррентных соотношений можно задать следующие последовательности:

1). Геометрическая прогрессия

2). Арифметическая прогрессия

другой вид un+2 = 2*un+1 - un

3). Последовательность чисел Фиббоначи

4). Последовательность квадратов натуральных чисел

другой вид un+3 = 3*un+2 - 3*un+1 + un

5). Последовательность кубов натуральных чисел

6). Все периодические последовательности: u1, u2, …, uк+1, …

un+к = un.

Также рекуррентные соотношения могут использоваться при решении задач (в частности, при доказательстве равенств):

7). Интегрирование простейших рациональных дробей IV типа

Обозначим Im= , где t = x+

8). Интеграл In=

9). Формула длины стороны при удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника

аn= , при n ≥ 2

R - радиус описанной окружности

Если сторона а1 исходного правильного вписанного многоугольника задана, то аn есть сторона многоугольника, полученного из исходного (n-1) кратным удвоением числа сторон.

10). Дифференциальные уравнения высших порядков

11). Определитель Вандермонда

Оглавление

- Введение 3

- Глава 1. 6

- Задача о ханойской башне

- Задача о разрезании пиццы

- Задача Иосифа Флавия

- Решение задач

- Заключение 41

- Библиографический список 42

Заключение

В данной работе поставленные цели были достигнуты. Однако тема далеко не исчерпана. Имеются перспективы в виде обобщения или изменения условий некоторых задач, и их последующего решения. Например, задачу о "диаграммах Венна" можно обобщить, рассматривая не окружности, а овалы или выпуклые многоугольники, и для них определить, какое максимальное число возможных подмножеств с их помощью можно проиллюстрировать. Задачу Иосифа Флавия можно изменить, например, так: Иосиф занимает конкретное j-е место и может назвать роковой параметр q, после чего уничтожается каждый q-ый человек, всегда ли он сможет спастись?

В работе не рассмотрен репертуарный метод решения обобщенных рекуррентностей с определенным числом параметров (т. к. не стояло такой задачи). Репертуарным методом можно, например, решить обобщенную рекуррентность с четырьмя параметрами:

Список литературы

1. Грехем, Р. Конкретная математика. Основание информатики. [Текст] / Р. Грехем, Д. Кнут, О. Паташник. Пер. с англ. - М.:Мир, 1998. - С. 17-37.

2. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. Популярные лекции по математике [Текст]. - М.: Наука, 1983.

3. Мантуров О. В. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.2 [Текст] / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин; Под. ред. Л. В. Сабинина. - М.: Просвещение, 1982. - С. 207-208.