Курсовая работа на тему: Постановка задачи. Обыкновенное дифференциальное уравнение высших порядков

Введение

Применение новых технологий проектирования, основанных на использовании методов математического моделировании и вычислительной техники, позволяет обеспечить высокое качество и быстрые сроки выполнения проектно-конструкторских работ.

Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте.

Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирования, значительно сократить объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.

Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения исследований может определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование и др.

Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом (например, электронная модель электродвигателя). Если модель и объект одной и той же физической природы, то моделирование называют физическим.

Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени при создании сложных технических объектов. Однако данный вид моделирования сопряжен с большими временными и материальными затратами.

Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т.п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирования, значительно сократить объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.

Математическая модель - это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т.п. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. В конструкторской практике под математическим моделированием обычно понимается процесс построения математической модели, а проведение исследований на модели в процессе проектирования называют вычислительным экспериментом.

Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать алгоритм реализации математической модели.

Моделирование широко используется при создании машин, технических комплексов и других объектов. Как средство познания и преобразования материального мира моделирование применяется в экспериментальных и теоретических научных исследованиях.

Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов - дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью.

Численные методы предоставляют широкие возможности для проведения трудоемких математических расчетов (построении математической модели), моделирования реально протекающих физических процессов и их анализа.

Численные методы получили широкое распространение в решении дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение - уравнение <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%А3%D1%80%D0%В0%D0%В2%D0%ВD%D0%В5%D0%ВD%D0%В8%D0%В5>, связывающее значение некоторой неизвестной функции <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%А4%D1%83%D0%ВD%D0%ВА%D1%86%D0%В8%D1%8F_(%D0%ВС%D0%В0%D1%82%D0%В5%D0%ВС%D0%В0%D1%82%D0%В8%D0%ВА%D0%В0)> в некоторой точке и значение её производных <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%ВЕ%D0%В8%D0%В7%D0%В2%D0%ВЕ%D0%В4%D0%ВD%D0%В0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%ВD%D0%ВА%D1%86%D0%В8%D0%В8> различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электронных вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований.

Решение дифференциальных уравнений является одним из первоначальных и основных мотивов для развития как аналоговых, так и цифровых вычислительных машин. Численное решение таких задач и сейчас поглощает значительную часть машинного времени, предоставляемого современными ЭВМ.

Оглавление

- Введение

- Постановка задачи

- Обыкновенное дифференциальное уравнение высших порядков

- Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

- Численные методы решения дифференциальных уравнений

- Выбор метода для решения задачи

- Решение системы дифференциальных уравнений

- Метод Рунге-Кутта 4-го порядка для решения систем дифференциальных уравнений

- Программная реализация метода Рунге-Кутта 4-го порядка

- Блок-схема программы

- Описание интерфейса программы

- Исходный код программы

- Анализ результатов Заключение

- Литература

Заключение

В данной работе была решена поставленная задача, в которой необходимо было подготовить программу, которая моделировала бы движение заданной системы, и выполнить расчет для полного цикла колебаний. В курсовой работе нужно было сравнить полученные результаты решения ДУ 2-го порядка для нелинейного и линейного случаев, а также построить графики.

Для решения поставленной задачи был осуществлен ряд действий:

1. Проанализированы дифференциальные уравнения.

2. Приведены к нормальной форме.

. Выбран наиболее подходящий метод для решения дифференциальных уравнений.

. Была разработана программа, реализующая физическое и математическое поведение тела.

. Сравнили полученные результаты.

Основными задачами курсовой работы стали численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений различных порядков, задачи компьютеризации и автоматизации в сфере промышленного производства, в проектно-конструкторских и научно-исследовательских разработках.

Список литературы

1. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчётах. Учебник для вузов / Петров А.В., Алексеев В.Е. и др. Под ред. А.В. Петрова. - М.: Высш. шк. 1984. - 320с.

2. Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

. А.Н. Тихонов, Васильева А.Б., А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4е изд., Физматлит, 2005.

. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 248с.

5. Лапчик М.П. Вычисления. Алгоритмизация. Программирование: Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1988.

. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. - М.: Радио и связь, 1985.

7. Козин А.С., Лященко Н.Я. Вычислительная математика. - К.: Рад. школа, 1983. - 191с.

. Маликов В.Т., Квотный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ. - К.: Вища школа. 1989. - 213с.