Решение задач на тему: Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Введение

При изучении геометрических задач не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называют дифференциальными.

Простейшим примером дифференциального уравнения является уравнение

где f(x) - известная, а y=y(x) - искомая функции независимого переменного х. Решения этого уравнения называют первообразными функциями для функции f(x). Например, решениями дифференциального уравнения

являются функции

где С - произвольная постоянная, причем других решений это уравнение не имеет.

Характерное свойство дифференциальных уравнений - иметь бесконечное множество решений. В этом смысле приведенный выше пример типичен. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию некоторого процесса, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает именно этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача неопределенна.

Рассмотрим несколько конкретных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Оглавление

- Введение 3

- Огибающие

- Бархистохрона

- Задача о брахистохроне с фиксированной абсциссой правого конца

- Задача о расстоянии до кривой

- Геодезические линии на кривой поверхности

- Задача о геодезической линии

- Задача о криволинейной трапеции с наибольшей площадью

- Кривая провеса гибкой нерастяжимой нити

- Поверхность вращения наименьшей площади

- Задача Дидоны

- Заключение 35

- Список использованной литературы 36

Заключение

Данная курсовая работа состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы.

Целью курсовой работы являться рассмотрение геометрических задач и приведение их к дифференциальным уравнениям.

В ходе выполнения данной курсовой работы мы пришли к тому, что часть дифференциальных уравнений разрешимы явно, а часть уравнений явно неразрешимы.

Таким образом, из вышесказанного можно сделать вывод, что цель курсовой работы достигнута.

Список литературы

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1984. - 271 с.

2. Богданов Ю. С. Лекции по дифференциальным уравнениям. - Минск: Вышейшая школа, 1977. - 239 с.

3. Еругин Н. П., Штокало И. З., Бондаренко П. С. И др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - Киев: Вища школа, 1974. - 471 с.

4. Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Высшая школа, 1983. - 128 с.

5. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. - М.: Просвещение, 1988. - 256 с.

6. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - Минск: Вышейшая школа, 1987. - 319 с.

7. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Минск: Вышейшая школа, 1974. - 766 с.

8. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: 1952 Ленинград.

9. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1970. - 331 с.

10. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи. - Киев: Вища школа, 1984. - 408 с.

11. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. - М.: Наука, 1964. - 205 с.

12. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1972. - 724 с.

13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 724 с.

14. Торнтон Фрай. Элементарный курс дифференциальных уравнений. - М.: 1933 Ленинград.

15. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1979. - 352 с.