Дипломная работа на тему: Связь комбинаторики с различными разделами матики

Введение

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов называется комбинаторикой. Комбинаторика возникла в XVI веке. Вопросы, касающиеся азартных игр, явились движущей силой в развитии комбинаторики. Сейчас комбинаторные методы применяются как в самой математике, так и вне её - теория кодирования, планирование эксперимента, топология, конечная алгебра, математическая логика, теория игр, кристаллография, биология, статистическая физика, экономика и т.д.

Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования.

Цель дипломной работы: показать связь комбинаторики с различными разделами математики.

Задачи:

1. Изучить лемму Бернсайда и решить комбинаторные задачи о раскраске с её применением;

2. Показать применение метода "просеивания" для подсчёта количества простых и взаимно простых чисел;

3. Рассмотреть теорему Борсука, которая решает задачу для плоских фигур о разбиении их на части меньшего диаметра;

4. Решить задачу о "счастливых билетах".

Дипломная работа состоит из четырёх частей:

В § 1 рассмотрена связь теории групп с комбинаторикой: применение группы перестановок к решению комбинаторных задач. Основной используемый факт в этом параграфе - лемма Бернсайда.

В § 2 показан наиболее общий метод пересчёта (известный ещё в XVIII веке), а также приведены примеры его использования в теории чисел.

Параграф 3 посвящён вопросу комбинаторной геометрии - вопросу о разбиении фигуры на несколько меньших частей. Рассмотренная теорема Борсука является тем стержнем, вокруг которого возможно дальнейшее рассмотрение этого вопроса.

В § 4 решается известная задача о счастливых билетах с привлечением методов из математического анализа.

Оглавление

- Введение 3

- Применение леммы Бернсайда к решению комбинаторных задач

- Орбиты группы перестановок

- Длина орбиты группы перестановок. Лемма Бернсайда

- Комбинаторные задачи

- Метод просеивания

- Формула включения и исключения

- Общий метод просеивания или пропускания через решето. Решето Сильва-Сильвестра

- Использование общего метода решета в теории чисел

- Разбиение фигур на части меньшего диаметра

- Счастливые билеты

- Библиографический список 39

Список литературы

1. Болтянский, В.Г. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии [Текст] / В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг // - М.: Наука, 1965.

2. Болтянский, В.Г. Разбиение фигур на меньшие части [Текст] / В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг // - М.: Наука, 1971.

3. Калужнин, Л.А. Преобразования и перестановки [Текст] / Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский // - М.: Наука, 1979.

4. Кофман, А. Развитие методов пересчета [Текст] / А. Кофман // Введение в прикладную комбинаторику - М.: Наука, 1975. - с. 60-73.

5. Ландо, С.К. Счастливые билеты [Текст] // Математическое просвещение, сер. 3, вып. 2. - М.: Просвещение, 1998. - с. 127-132.