Магистерская диссертация на тему: Кривые и тела постоянной ширины Понятие кривой постоянной ширины и его свойства

Введение

Большинство людей считают, что кривых и тел постоянной ширины мало и в жизни человека их не используют, показывая тем самым, насколько сильно может вводить в заблуждение математическая интуиция. В действительности кривых и тел постоянной ширины бесконечно много. В повседневной жизни нередко возникает необходимость перевезти с места на место тяжелый предмет. Пользоваться при этом тележкой не всегда удобно: оси ее от большой нагрузки могут прогнуться и даже треснуть. В таких случаях тяжелый предмет кладут на плоскую платформу, установленную на цилиндрических катках. По мере продвижения платформы, освободившиеся задние катки заносят вперед и укладывают перед ней. Ни сама платформа, ни покоящийся на ней предмет при движении по ровной горизонтальной поверхности не испытывают вертикальных перемещений по той простой причине, что цилиндрические катки в сечении имеют форму круга, а границы круга - окружность - принадлежит к числу замкнутых кривых, обладающих важным свойством - "постоянной шириной".

Объект исследования - тела постоянной ширины.

Предмет исследования - теоретические свойства тел постоянной ширины.

Цель данной работы - познакомится с кривыми постоянной ширины научится их строить, рассмотреть области применения фигур постоянной ширины и изучить их свойства.

ГЛАВА 1.Кривые постоянной ширины

1.1ПОНЯТИЕ КРИВОЙ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ.

Для перемещения огромных камней, плит, тяжелых предметов используют колесо ,или круглые брёвна одинакового диаметра, тяжелый предмет кладут на плоскую платформу, установленную на цилиндрических катках. Ни сама платформа, ни покоящийся на ней предмет при движении по ровной горизонтальной поверхности не испытывают вертикальных перемещений по той простой причине, что цилиндрические катки в сечении имеют форму круга, а круг - фигура постоянной ширины. Может показаться, круг является единственной выпуклой фигурой, у которой ширина в любом направлении одна и та же: она равна диаметру круга. Однако это не так: существует множество фигур постоянной ширины, т.е. таких выпуклых фигур, у которых во всех направлениях ширина одинакова. Что мы можем назвать шириной кривой? Если замкнутую кривую поместить между двумя параллельными прямыми, то расстояние между параллельными прямыми в момент касания кривой будет называться шириной данной кривой в направлении, перпендикулярном параллельным прямым. Именно потому, что окружность имеет одинаковую ширину по всем направлениям, ее можно вращать между двумя параллельными прямыми, не изменяя расстояния между ними.

Определение -плоская выпуклая кривая для которой расстояние между любыми парами параллельных опорных прямых одинаково, называется кривой постоянной ширины, а это расстояние называется постоянной шириной кривой. Если кривая постоянной ширины ограничена двумя парами параллельных прямых и одна пара пересекается с другой под прямым углом, то кривая постоянной ширины с необходимостью должна быть вписана в квадрат.

1.2Свойство кривых постоянной ширины

Расмотрим свойства кривых постоянной ширины. Через каждую граничную точку фигуры постоянной ширины d проходит хотя бы один диаметр этой фигуры (т.е. хорда, имеющая длину d). Границу фигуры постоянной ширины d нельзя разбить на две части меньшего диаметра.

Всякие два диаметра фигуры постоянной ширины всегда пересекаются (либо внутри фигуры, либо на ее границе). При этом, если два диаметра АВ и АС имеют общую граничную точку А, то дуга ВС радиуса d с центром в точке А целиком лежит на границе фигуры.Одно из удивительных свойств состоит, в том, что все кривые одной и той же постоянной шириныимеют одинаковые периметры. Поскольку окружность принадлежит к числу кривых постоянной ширины, периметреё равен π d.Как доказать,что периметр любой кривой постоянной ширины есть величинаπ d.

Опытным путем математик Герман Минковский показал ,что все тени, отбрасываемые телами постоянной ширины (предполагается, что лучи солнца параллельны, а тень падает на плоскость, перпендикулярную лучам), имеют форму кривых постоянной ширины. Периметры всех теней, отбрасываемых телами одной и той же постоянной ширины, одинаковы (и равныπd, где d - ширина тела).

Представим себе каток постоянной ширины d, который катится без проскальзывания между параллельными прямыми а и b. Будем считать прямую а неподвижной, а прямую b движущейся с постоянной скоростью v. Сделав один оборот, каток переместится на расстояние с, где с - длина кривой, которая ограничивает сечение катка, т.е. длина кривой постоянной ширины d. Время полного оборота катка обозначим буквой t. За это время прямая b переместится по отношению к катку также на расстояние с и, значит, по отношению к неподвижной прямой а - на расстояние 2с, поэтому 2с = vt. С другой стороны, в каждый момент времени движение катка можно рассматривать как вращение вокруг точки, в которой каток опирается на прямую а. Если угловая скорость вращения катка равна ω, то скорость v движения прямой b, равна ωd. Итак, 2с = ωdt. Но ωt представляет собой угол, на который повернулся каток за время t, т.е. ωt = 2. Таким образом,

2с = 2d,с = d.

Поскольку все кривые одинаковой постоянной ширины имеют один и тот же периметр, может показаться, будто и все тела одинаковой постоянной ширины имеют одну и ту же площадь поверхности. Однако такое утверждение не верно.

Найдем площадь треугольника Рело.

Площадь треугольника Рело равна

Докажем, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Площадь круга равна

Оценим площадь круга и площадь треугольника Рело:

Делаем вывод, что площадь круга больше площади треугольника Рело, а равносторонний, треугольник является многоугольником с наименьшим числом вершин (сторон). Значит, с увеличением числа вершин многоугольника площадь фигуры постоянной ширины, в которую вписан этот многоугольник, будет увеличиваться. Треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Докажем, данное утверждение.

Пусть дан правильный многоугольник со стороной а. О - центр вписанной и описанной окружности. ОА=ОD; ОНАD;АОD= (n-число сторон), т.к. треугольник равнобедренный, ОН -биссектриса угла АОD.(Рис 7.)

Следовательно,

АОН=НОD; АОН: АОН=; АН=, то .

Диаметром многоугольника является его наибольшая диагональ (в данном случае их две). Рассмотрим центральный угол АОВ и вписанный в окружность угол АМВ (рис. 8), то АОВ=2АМВ, АМВ=. АМ=МВ, то по теореме косинусов

, то

Площадь фигуры, в которую вписан правильный многоугольник состоит из площади многоугольника и суммы площадей равных сегментов. Площадь сегмента равна

(Sсегмента=Sсектора Sтреугольника АМВ).

Остается доказать, что это выражение будет всегда больше площади треугольника Рело, т.е. больше чем. Для этого вычтем из площади треугольника Рело площадь фигуры постоянного диаметра, в которую вписан правильный многоугольник и докажем, что эта разность при n>3 всегда будет отрицательной:

Итак, при любом n>3

Следовательно, разность площади треугольника Рело и площади фигуры постоянного диаметра, в которую вписан правильный многоугольник, отрицательна. Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

ГЛАВА 2.Тела постоянной ширины

Трехмерные аналоги кривых постоянной ширины называются телами постоянной ширины. Сфера - не единственное тело, которое может вращаться внутри куба, все время касаясь всех шести его граней. Этим же свойством обладают все тела постоянной ширины. Простейшим примером несферического тела постоянной ширины может служить тело, образующееся при вращении треугольника Рело вокруг одной из его осей симметрии. Существует бесконечно много и других тел постоянной ширины. Те из них, которые имеют наименьший объем при данной ширины, получаются из правильного тетраэдра,так же как треугольник Рело - из равностороннего треугольника: сначала на каждую грань помещают сферические шапочки, а затем слегка скругляют ребра. Ребра либо исходят из одной вершины, либо образуют треугольник.

Выпуклая фигура, которая может вращаться внутри многоугольника или многогранника, касаясь все время всех его сторон, называется ротором. Мы видели, что треугольник Рело является ротором минимальной площади для квадрата. Это - фигура в форме линзы (разумеется, ее контур не является кривой постоянной ширины), образованная дугами двух окружностей, радиус которых равен высоте треугольника (каждая дуга составляет 60°). Важно заметить, что концы ротора при вращении описывают весь периметр треугольника, не закругляя углов.

Доказано, что в трехмерном пространстве существуют несферические роторы для правильного тетраэдра, октаэдра и куба, но не для додекаэдра и икосаэдра. Относительно роторов в пространствах большего числа измерений почти ничего не известно.

Оглавление

- Введение

- Кривые и тела постоянной ширины Понятие кривой постоянной ширины и его свойства

- Понятие тела постоянной ширины и его свойства

- Практическое применение кривых и тел постоянной ширины 2.1 Сверло Уаттса

- Двигатель Ванкеля

- Грейферный механизм Заключение

- Список использованных источников