Решение задач на тему: Множества. Множества, операции д множествами. Основные определения

Введение

Дискретная математика является относительно молодой наукой, высокий интерес к ней в настоящее время связан с бурно развивающимися информационными технологиями и внедрением автоматизированных методов и средств обработки информации во все сферы человеческой деятельности. Изучаемая в вузе одноимённая дисциплина обеспечивает фундаментализацию образования, формирует у студентов научное мировоззрение и развивает логическое мышление.

Дискретная математика - это область математики, которая изучает свойства структур конечной природы, возникающих как внутри математики, так и в ее приложениях. Такие конечные структуры могут включать, например, конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машину Тьюринга и так далее.

Дискретная (конечная) математика - это раздел математики, который не связан с понятиями предела, непрерывности и бесконечности.

Рисунок 1 - Периоды развития дискретной математики

Дискретная математика имеет широкий спектр применений, прежде всего в областях, связанных с информационными технологиями и компьютерами (компьютер - цифровой компьютер, следовательно, имеет дискретный характер работы).

В отличие от дискретной математики, классическая математика в основном занимается изучением свойств объектов непрерывного характера. Использование классической математики или математической физики в качестве исследовательских аппаратов связано с тем, какие задачи ставит перед собой исследователь и, в связи с этим, какую модель изучаемого им явления рассматривает, дискретную или непрерывную.

Следует также отметить, что в математике есть подразделы, которые используют инструменты дискретной математики для изучения непрерывных моделей, и, наоборот, инструменты и формулировки задач классического анализа часто используются для изучения дискретных структур.

Дискретная математика является важной областью математики, в которой можно выделить предмет исследования, характерный для математики, методов и задач, специфика которого определяется, прежде всего необходимостью отказа математики от фундаментальных понятий классической математики - предела и преемственность - и в связи с тем, что для многих задач математической физики сильные средства классической математики, как правило, вряд ли приемлемы.

Наряду с выделением дискретной математики. Перечисляя подразделы, которые составляют дискретную математику. К ним следует отнести комбинаторный анализ, теорию графов, теорию кодирования, теорию функциональных систем и некоторые другие.

Стремление к строгости математических рассуждений и анализ рабочего инструмента математики - логики привело к выявлению еще одного важного раздела математики - математической логики (19-20 вв.). Тем не менее, метроскопия достигла своего наибольшего развития в связи с требованиями практики, что привело к появлению новой науки - кибернетики и ее теоретической части - математической кибернетики (20-го века).

Дискретная математика, по сути, начала активно развиваться с начала XX века, когда были изучены возможности формализации математики и получены фундаментальные результаты в области математической логики.

Математическая кибернетика, которая непосредственно изучает самые разнообразные проблемы, возникающие в практической деятельности человека с точки зрения математики, является мощным поставщиком идей и задач для дискретной математики, воплощая в жизнь совершенно новые направления.

Таким образом, прикладные вопросы, требующие большой числовой обработки, стимулировали появление сильных численных методов для решения задач, которые впоследствии сложились в вычислительной математике, а анализ понятий "вычислимость" и "алгоритм" привел к созданию важного раздела математическая логика - теория алгоритмов. Растущий поток информации и связанные с этим задачи хранения, обработки и передачи информации привели к появлению теории кодирования; экономические проблемы, проблемы электротехники, а также внутренние проблемы математики, потребовали развития теории графов;

Задачи построения и описания работы сложных систем управления составляли теорию функциональных систем и так далее. В то же время математическая кибернетика широко использует результаты математической физики при решении своих задач.

Математика является частью нашей культуры. Человек не может считать себя широко образованным, не имея представления о современной математике, ее роли в повседневной жизни, в науке. Математика (от греческого математика - наука) - это наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. Математика возникла в древние времена и с рождения условно делится на дискретную и непрерывную (непрерывную) математику. К континууму математика относится все, что содержит идеи теории пределов и непрерывности. Все остальное - дискретная математика.

Его главная специфика - дискретность, то есть антипод непрерывности. Дискретная математика - это область математики, которая изучает дискретные математические объекты и структуры [10]. Его элементы возникли в древние времена. С незапамятных времен известны комбинаторно-логические проблемы, решение которых связано с перечислением комбинаций дискретных объектов и логическим анализом возникающих вариантов. Некоторые из них дошли до нашего времени в занимательной математике в форме задач головоломки. Дискретные системы с древних времен используются в вычислительной практике. Широко известны различные системы представления чисел и соответствующие алгоритмы для выполнения арифметических операций, решения уравнений и т.д., которые были изобретены в древние времена.

Дискретные вычислительные устройства: счеты, широко использовались различные типы учетных записей. Развиваясь параллельно с другими разделами математики, элементы дискретной математики были их неотъемлемой частью. Важнейшие примеры дискретных математических объектов: натуральный ряд чисел; конечный набор элементов произвольной природы; функция (отображение) из конечного множества в конечное множество; слово (последовательность символов) и формальный язык (много слов) в последнем алфавите; конечный граф и другие.

Существенный дискретный объект обычно считается состоящим из неделимых частей, которые строго отделены друг от друга. Объекты считаются дискретными и в тех случаях, когда по тем или иным причинам отвлекаются от присущих им свойств непрерывности. Следует подчеркнуть, что разделение математики на "непрерывную" и "дискретную" очень произвольно, потому что вся математика объединена и пронизана глубокими аналогиями. Подобные идеи и проекты одинаково хорошо работают в различных его разделах. С одной стороны, между ними происходит обмен идеями и методами, а с другой стороны, часто необходимо изучать модели, которые одновременно обладают как дискретными, так и непрерывными свойствами. Например, аппарат теории множеств и теории графов используется при изучении не только дискретных, но и непрерывных объектов. Математика, изучающая количественный аспект материальной реальности, отражает противоречивую природу реального мира. Непрерывность и однородность пространства являются предпосылками появления континуальных разделов математики, а разрывность и неоднородность - дискретными разделами. В то же время единство мира, тесная связь его непрерывных и дискретных свойств являются основой единства математики. Однако природа предметов, изучаемых дискретной математикой, настолько своеобразна, что методы классической математики не всегда достаточны для их изучения. Поэтому те конкретные методы, которые использовались для очень широкого класса конечных дискретных объектов, были объединены и в общем направлении - дискретной математике. Изучение элементов дискретной математики является неотъемлемой и неотъемлемой частью общего математического образования на всех его этапах и для всех учащихся.

В широком смысле дискретная математика включает в себя такие давно созданные разделы математики, как теория чисел, алгебра, теория множеств, математическая логика и другие.

В узком смысле дискретная математика состоит из ряда специальных разделов и относительно новых разделов, которые интенсивно развивались с середины прошлого века в связи с изобретением и постепенным внедрением компьютеров и цифровых технологий во всех сферах жизни. Эти разделы включают теорию функциональных систем, теорию графов и сетей, комбинаторный анализ, теорию автоматов и алгоритмов, теорию кодирования, теорию синтеза систем управления, дискретную геометрию и так далее. Несмотря на то, что элементы дискретной математики встречались на протяжении всего периода развития математики, термин "дискретная математика" является относительно новым в математической лексике. Во втором издании Большой советской энциклопедии (1949-1958) она не используется. Статья "Конечная математика" появляется только в третьем издании энциклопедии (1969-1981), что связано с быстрым развитием дисциплин, связанных с изучением кибернетических систем, описываемых дискретными математическими моделями, и изучением таких моделей. Конечная математика (дискретная математика) - это раздел математики, который изучает свойства объектов конечной природы [8]. Конечная математика - это "область математики, которая изучает свойства структур конечной (конечной) природы, возникающих как внутри математики, так и в ее приложениях" [7].

Такие конечные структуры могут включать, например, конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечных автоматов и т. Д. Иногда они позволяют предмету конечной математики расширяться до произвольных дискретных структур и переходить к дискретной математике. Такие структуры могут включать в себя некоторые алгебраические системы, бесконечные графы, определенные типы вычислительных схем, клеточные автоматы и т.д.

Термин "дискретный анализ" иногда используется как синоним понятий "конечная математика" и "дискретная математика". В статье Кудрявцев В.Б. "Конечная математика" Дискретная математика противопоставлена классической: "В отличие от конечной математики, классическая, в основном, изучает свойства объектов непрерывного характера" [7].

Такой контраст не совсем точен, поскольку до определения в середине 20-го века. Понятие "дискретная математика" к классической математике принадлежало изучению дискретных объектов [4, с. 13]. Начало следующего этапа в развитии дискретной математики восходит к XVII веку и связано с появлением работ Л. Эйлера в области комбинаторного анализа и теории графов и Дж. Бернулли по комбинаторной теории вероятностей. Большую роль в развитии идеологии дискретной математики сыграл Г.В. Лейбниц. В 19 веке известные математики работали в области дискретной математики, такие как Дж. Л. Лагранж, А. Кейли, Дж. Булл, К. Джордан и многие другие. Начиная с 17-го века, математика в основном занималась изучением функций постоянно меняющегося аргумента, который лежал в основе всех его приложений. Однако изучение моделей, которые в корне дискретны по своей природе, привело к необходимости обратиться к разделам математики, исходя в основном из математической логики и традиционно включая комбинаторный анализ, теорию графов, теорию алгоритмов, теорию алгебраических систем и некоторые другие. В современной математической науке, как и в ее приложениях, исследования в этих областях занимают все более заметное место.

Оглавление

- Введение 3

- Множества

- Множества, операции над множествами

- Основные определения

- Сравнение множеств

- Операции над множествами

- Свойства операций над множествами

- Отношения

- Упорядоченные пары

- Прямое произведение множеств

- Комбинаторика

- Основные законы комбинаторики

- Правило произведения

- Перестановки

- Сочетания

- Логика высказываний

- Введение в алгебру логики

- Основные понятия

- Заключение 27

- Список использованной литературы 29

Заключение

В 21 веке дискретная математика является быстро развивающейся отраслью математики. Ее роль и место определяются в основном тремя факторами:

1) дискретную математику можно рассматривать как теоретические основы компьютерной математики;

2) модели и методы дискретной математики являются хорошим инструментом и языком для построения и анализа моделей в различных науках, включая химию, биологию, генетику, физику, психологию, экологию, социологию;

3) язык дискретной математики чрезвычайно удобен и фактически стал метаязыком всей современной математики;

В настоящее время знание дискретной математики необходимо специалистам в различных областях деятельности, а элементы дискретной математики все чаще вводят не только математики, инженеры, программисты, но даже юристы в учебные программы. Интерес к этой дисциплине не случаен, поскольку потребность в знаниях в этой области математики объясняется широким спектром ее применений: электроникой и информатикой, вопросами оптимизации и принятия решений. XXI век называют веком информатизации, когда основная часть информации хранится в памяти компьютера. Использование компьютеров для комплексной автоматизации информационной деятельности в корне изменило характер взаимоотношений человека и машины. Если раньше компьютер осваивали только те, кто непосредственно обслуживал его: программисты, электронщики, операторы. Ни одна отрасль деятельности не может обойтись без машинной обработки информации. Таким образом дискретная математика является неотъемлимой частью математики в целом. В ней заключены основные параметры, данные, формулы и так далее. Благодаря дискретной математики можно решить различные сложные задачи, графически предоставить ответ на соответствующий вопрос. Она делает нашу жизнь проще, нагляднее, заставляет нас думать абстрактней.

Список литературы

1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования утвержден 14 марта 2000 года, номер государственной регистрации 52 мжд/сп. Специальность 351400 "Прикладная информатика (по областям)".

2. Дискретная математика / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М.: Издательский центр "Академия", 2006. - 368с.

3. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: Теория, задачи, приложения. - М. : Вузовская книга, 2005. - 268с.

4. Мельников О.И. Обучение дискретной математике. - М. : Издательство ЛКИ, 2008. - 224с.

5. Осипова В.А. Основы дискретной математики. - М. : ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006. - 160с.

6. Соболева Т.С. Дискретная математика : учебник для студ. Вузов / Т. С. Соболева, А.В. Чечкин; под. ред. А.В. Чечкина. - М. : Издательский центр "Академия", 2006. - 256с.

7. Кудрявцев В.Б. Конечная математика//БСЭ http://oval.ru/enc/35943.html (дата обращения: 04.01.2020)

8. Современный толковый словарь изд. "Большая Советская Энциклопедия" http://www.classes.ru/all-russian/russian-dictionary-encycl-term-27389.htm (дата обращения: 04.01.2020)

9. http://ru.wikipedia.org/wiki (дата обращения: 06.01.2020)

10. http://www.lomonosov-fund.ru/enc/ru/encyclopedia:01123 (дата обращения: 04.01.2020)

11. Канцедал, С.А. Дискретная математика: Учебное пособие / С.А. Канцедал.. - М.: ИД ФОРУМ, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 224 с.

12. Коростелёва, Л.А. Дискретная математика: Учебное пособие / Л.А. Коростелёва, А.Г. Кощаев. - СПб.: Лань, 2016. - 592 с.

13. Краснов, М.Л. ВСЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: Дискретная математика (теория чисел, общая алгебра, комбинаторика, теория Пойа, теория графов, паросочетания, матроиды) / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. - М.: КомКнига, 2014. - 208 с.

14. Кузнецов, О.П. Дискретная математика для инженера: Учебник 2014 год. / О.П. Кузнецов. - СПб.: Лань, 2014. - 400 с.

15. Куликов, В.В. Дискретная математика: Учебное пособие / В.В. Куликов. - М.: ИД РИОР, 2013. - 174 с.

16. Микони, С.В. Дискретная математика для бакалавра: множества, отношения, функции, графы: Учебное пособие / С.В. Микони. - СПб.: Лань, 2012. - 192 с.

17. Новиков, Ф.А. Дискретная математика: Учебник для вузов. Стандарт третьего поколения / Ф.А. Новиков. - СПб.: Питер, 2013. - 432 с.

18. Новиков, Ф.А. Дискретная математика. / Ф.А. Новиков. - СПб.: Питер, 2013. - 432 с.

Размещено на Allbest.ru

Я