Магистерская диссертация на тему: Теорема Штурма и связанные с ней задачи в теории дифференциальных уравнений

Введение

Тема дипломной работы "Теорема Штурма", связана с именем французского математика Жака Шарля Франсуа Штурма.

Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Сh. F. - правильное произношение: Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской академии наук с 1836, а также иностранным членом - корреспондентом Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором Политехнической школы в Париже.

Штурм (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической тригонометрии при помощи пространственных координат.

Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull. mathem., 1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе 1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857) распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней дал также Сильвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814-1897) в 1839 году и позже.

Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных уравнений. (Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальных уравнений :

-(р(t)u)+q(t)u=u,

удовлетворяющих граничным условиям вида:

(так называемых собственных функций), а также о нахождении значений параметра (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты р(t), q(t) задача Штурма-Лиувилля сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида: -u+q(x)u=u).

Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г.

Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами (уже упоминалось выше).

Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике.

Штурм Жак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855года.

Оглавление

- Введение3

- Предварительные сведения

- Основные факты

- Теоремы Штурма

- Использованная литература27

Список литературы

1. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн. пособие./ Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд."Мир", 1970г.-720 с.

2. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос.изд. "Технико-теор. литер."-М., 1953г.-468 с.

3. Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., "Советская Энциклопедия", 1978г., т.29. "Чачан-Эне-ле-Бен." - 640 с.

4. Г.Вилейтнер. "История математики от Декарта до середины 19-го столетия." М., изд. "Наука.", 1966г. - 508 с.

5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Под ред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд. "Наука.", М., 1972г. - 496 с.