Дипломная работа на тему: Основные понятия и определения. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений

Введение

В математике дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное явление, записывается в виде дифференциальных уравнений.

Задача интегрирования дифференциальных уравнений является классической и важнейшей задачей математического анализа.

Предметом исследования моей дипломной работы являются вынужденные колебания материальной точки, которые задаются неоднородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Проинтегрировав это уравнение, получим закон движения материальной точки. Рассмотрен также частный случай уравнения вынужденный колебаний, т.е. когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний - явление резонанса. Так же мною было изучено применение явления резонанса в технике, строительстве, производстве и т.д. Рассмотрены случаи, когда явление резонанса приводило к разрушениям.

Мы живем в мире колебаний. Маятник стенных часов, фундамент быстроходной турбины, кузов железнодорожного вагона, струна гитары и т.д.

По современным воззрениям, все звуковые, тепловые, световые, электрические и магнитные явления, т.е. важнейшие физические процессы окружающего нас мира, сводятся к различным формам колебания материи.

Речь, средство общения людей, музыка, способная вызвать у людей сложные эмоции, - физически определяются так же, как и другие звуковые явления, колебаниями струн, воздуха, пластин и других упругих тел.

Колебания играют важную роль в таких ведущих областях техники, как электричество и радио. Выработка, передача и потребление электрической энергии, телефония, радиовещание, телевидение, радиолокация - все эти важные отрасли основаны на использовании электрических и электромагнитных колебаний.

С колебаниями мы встречаемся и в живом организме. Биение сердца, сокращение желудка, деятельность кишечника имеют колебательный характер.

Строители и механики имеют дело с колебаниями сооружений и машин. Кораблестроители - с качкой и вибрацией корабля и т. д.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении собственной частоты и частоты вынуждающей силы называется резонансом.

Резонанс возникает из-за того, что внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями тела, все время совершает положительную работу. За счет этой работы энергия колеблющегося тела увеличивается и амплитуда колебаний возрастает.

Явление резонанса может играть как полезную, так и вредную роль.

На применении резонанса основано действие язычкового частотометра. Заметив, какая пластина вошла в резонанс, мы определим частоту системы. Маленький ребенок может раскачать язык большого колокола, если будет действовать на веревку в такт со свободными колебаниями языка.

С резонансом можно встретиться и тогда, когда это совсем нежелательно. Так, например, в 1750 году близ города Анжера во Франции через цепной мост длиной 102 м шел в ногу отряд солдат. Частота их шагов совпала с частотой свободных колебаний моста. Из-за этого размахи колебаний моста резко увеличились, и цепи оборвались. Мост обрушился в реку. В 1830 году по той же причине обрушился подвесной мост около Манчестера в Англии, когда по нему маршировал военный отряд. В 1906 году из-за резонанса разрушился и так называемый Египетский мост в Петербурге, по которому проходил кавалерийский эскадрон. Теперь для предотвращения подобных случаев войсковым частям приказывают "сбить ногу" и идти не строевым, а вольным шагом.

Чтобы избежать резонанса при переезде поезда через мост, он проходит его либо на медленном ходу, либо на максимальной скорости (чтобы частота ударов колес о стыки рельсов не оказалась равной собственной частоте моста).

При отборе материала для дипломной работы я старалась изложить основные идеи и методы, применяемые для изучения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения такого типа являются предметом внимательного изучения ученых, так как к ним приводится большое количество задач механики и других наук. Они особенно просты по своей природе и вместе с тем важны по своим приложениям. Они имеют значение в важном вопросе о малых колебаниях, так как было показано выше, что линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами описывают процесс колебаний, так как мы живем в "мире колебаний".

Оглавление

- Введение 3

- Основные понятия и определения

- Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений

- Свойства линейного оператора

- Линейные однородное дифференциальные уравнения второго порядка

- Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера

- Предварительные замечания

- Случай различных корней характеристического уравнения

- Случай кратных корней характеристического уравнения

- Система линейно независимых решений фундамент и определитель Вронского

- Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

- Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка

- Метод вариации произвольных постоянных метод Лагранжа для уравнения второго порядка

- Метод неопределенных коэффициентов

- Вынужденные колебания материальной точки

- Применение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к исследованию простейших колебаний

- Свободные колебания

- Вынужденные колебания

- Явление резонанса

- Применение явления резонанса

- Учет и использование резонанса

- Явление резонанса ведущее к разрушению. Способы гашения нежелательных вынужденных колебаний

- Дифференциальное уравнение цепной линии

- Заключение 67

- Список литературы 68

Заключение

Вынужденные колебания и резонанс широко используются в технике, особенно в акустике, электротехнике, радиотехнике и других областях. Явление резонанса используется в тех случаях, когда из большого набора колебаний разной частоты хотят выделить колебания вполне определенной частоты. Резонанс используется и при измерении очень слабых периодически повторяющихся величин.

Однако в ряде случаев резонанс - нежелательное явление, так как может привести к большим деформациям и разрушению конструкций. Резонанс приходится учитывать при конструировании машин и различных сооружений.

Вращающиеся части машин, валы двигателей самолетов и кораблей невозможно абсолютно точно уравновесить. В результате они испытывают переменную нагрузку, совершая вынужденные колебания и вызывая вынужденные колебания всей системы (например, самолета). Различные части системы или система в целом могут прийти в резонанс с вынуждающей силой, что может привести к их разрушению или повреждению. Поэтому инженеры должны так конструировать ту или иную установку, чтобы не возникало резких резонансных явлений ни во всей установке, ни в ее отдельных частях.

Список литературы

1) . Александров Н.В. и Яшкин А.Я. Курс общей физики. Механика. М.: "Просвещение", 1978 г.

2) Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения (перевод с английского) под ред. Эфрос А.М.. ОНТИ. Харьков, 1939 г. - 719 с.

3) Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000 г., 400 с.

4) Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1972 г., 149 с.

5) Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991 г., 303 с.

6) Гершензон Е.М., Малов Н.Н. Курс общей физики: Механика. -М., "Просвещение", 1987 г.

7) Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы 1950 г., 436 с.

8) Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука 1965 г., 616 стр. с илл.

9) Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1972 г., 510 с.

10) Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений (перев. с английского Левитана Б.М.). М.: Изд. иностранной литературы, 1958 г., 475 с.

11) Курант Р. Курс интегрального и дифференциального исчисления. М., 1970 г., 672 стр. с илл.

12) Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: Изд. иностр. лит., 1960 г., 388 с.

13) Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов и физ.-мат. спец. СПб.: Спец. Литература, 1996.

14) Матвеев Н.М. Сборник задачи упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учебное пособие, 7-е изд., доп. - Спб.: Издательство "Лань", 2002. - 432 с. - (Учебники для вузов. Специальная литература).

15) Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Изд. "Наука", 1973 г., 640 с. с илл.

16) Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, гос. изд. физ.-мат. литературы, М., 1961 г.

17) Преподавание физики в высшей школе. Сборник научных трудов. №1. -М., изд. МПГТУ. 1994 г.

18) Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.,физматгиз,1963.

19) Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для немат. спец. вузов / Под ред. Акад. А.Н. Тихонова. - М.: Высш. шк., 1985. - 471 с., илл.