Решение задач на тему: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными

Введение

Как известно, многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, то есть:

Но в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Большинство дифференциальных уравнений второго порядка возможно привести к системе дифференциальных уравнений вида:

положив , и следовательно, .

Рассмотрение такой системы в ряде аспектов удобнее, чем непосредственное рассмотрение уравнений.

Часто рассматривается тот частный случай системы, когда независимая переменная t в правые части не входит, то есть система имеет вид:

Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения

объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая систем двух дифференциальных уравнений (2) с полной отчётливостью была поставлена А. Пуанкаре [1] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [2, с. 191-211] и уточнены Дж.Д. Бирксоном [3].

Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н.П. Еругина [4, с. 659], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.

Знание одного частного интеграла системы (0.2) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работ этого характера для систем (0.2), в которых Р (х, у) и Q (x, y) - полиномы второй степени.

Н.Н. Баутиным [5, с. 181-196] и Н.Н. Серебряковой [6, с. 160-166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (2), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В работе Л.А. Черкаса [7, с. 732] такое исследование проведено для уравнения (3) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка.

А.И. Яблонский [8, с. 1752] и В.Ф. Филипцов [9, с. 469] изучали квадратичные системы с предположением, что частными интегралом являлись алгебраические кривые четвёртого порядка.

В данной работе рассматривается система:

и проводится качественное исследование в целом этой системы при условии, что её частными интегралами являются две кривые-первого и второго порядков. Качественное исследование включает в себя нахождение и исследование состояний равновесия, а также определение направлений траекторий в состоянии равновесия, исследование бесконечно-удалённой части плоскости и качественная картина для построенных систем.

При определённых ограничениях на коэффициенты системы и интегралов строятся классы дифференциальных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой соотношениями.

Работа состоит из двух разделов.

В первом разделе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами.

Во втором разделе проводится качественное исследование в целом выделенных в первом разделе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

Оглавление

- Введение

- Построение двумерной стационарной системы

- Построение двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка

- Построение двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

- Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в видекривых первого и второго порядков

- Качественное исследование построенных классов систем

- Исследование одной системы первого класса построенных двумерных стационарных систем

- Исследование одной системы второго класса построенных двумерных стационарных систем Заключение

- Список использованных источников

- Приложение

Список литературы

1 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.-М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. - 839 с.

2 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - УМН, 1941. - Вып. 9. - 643 с.

3 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941. - 340 с.

4 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. - ПММ. - 1952. - Т.16, Вып. 6. - с. 659-670.

5 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1976. - 274 с.

6 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний. - ПММ. - 1963 Т.27, Вып. 1. - 230 с.

7 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где Р и Q - многочлены второй степени // ДАН БССР. - 1963. - Т.7, №11. - 950 с.

8 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1970. - Т.6, №10. - с. 1752-1760.

9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1973. - Т.9, №3. - 256 с.

10 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа "узел" // ДАН БССР. - 1960. - Т.4, №9. - 720 с.