Магистерская диссертация на тему: Постановка задачи. Хождение собственных чисел и построение ФСР

Введение

Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

где коэффициенты аij , i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;

yi=yi(t), i=1,2,…,n - неизвестные функции переменной t.

Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).

Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор через тогда систему (1) можем переписать в матричной форме

Если , то получаем соответствующую систему однородных уравнений

Всякая совокупность n функций

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (а;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:

справедливые при всех значениях x из интервала (а, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.

Оглавление

- 1. Введение

- Постановка задачи

- 3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР

- 4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера

- 5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда

- Построение общего решения матричным методом

- Задача Коши для матричного метода

- 8. Решение неоднородной системы Графики

- 13. Заключение

Заключение

В ходе проделанной работы было изучено 3 метода нахождения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений: метод Эйлера, решение в виде матричного ряда и матричный метод. По сравнению с методом Эйлера и матричным методом, метод разложения в матричный ряд прост в реализации, но дает приближенное решение. Также была изучена задача Коши, которая была использована для нахождения частного решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений для данного вида начальных условий.

Для установления правильности проведенных вычислений была проведена проверка с помощью подстановки полученных решений в исходную систему уравнений.

Для реализации этой работы в DERIVE были использованы следующие функции пакета:

1. EIGENVALUES (А, ) - вычисление собственных чисел матрицы А с последующей записью в вектор .

2. SOLVE (Рm=0, ) - решение уравнения Рm=0, где Рm - полином степени m: Рm=р0*m р1*m-1+…+рm-1*+рm, а - переменная, относительно которой решается данное уравнение.

3. EXACT_VECTOR(А, ) - вычисление точного собственного вектора матрицы А и размещение этих значений в .

4. DIF(А,x,n) - дифференцирование А по x n раз.

5. SUM(М,n,f,g) - вычисление суммы М по n изменяющимся с f до g.

6. VECTOR(u,к,n)- задание (вычисление) вектора значений при к изменяющемся от 1 до n.

А также функции меню:

1. SOLVE/SYSTEM -решение системы с последующим заданием в диалоговом окне количества уравнений, самих уравнений и переменных, относительно которых решается данное уравнение.

2. Simplify > Expand- раскрытие выражений.

Команда Expand используется для раскрытия математических выражений.

Expand expression: #n: где n - номер строки выражения (операнда).

В этом варианте команды необходимо указать имя переменной, по которой будет проведено преобразование. Если по всем -<Enter>.

3. Для построения графиков использовали функцию 2D-plot.