Дипломная работа на тему: Функция распределения вероятностей двух случайных величин. Совместная плотность распределения

Введение

Пусть у функции существуют производные по , , а также вторая смешанная производная. Совместной (или двумерной) плотностью распределения вероятностей случайных величин и называется функция

Рассмотрим основные свойства двумерной плотности вероятности.

1. Справедливо соотношение:

Для доказательства используем равенство (51.1), тогда:

Теперь из равенства (50.2) следует (51.2). Это соотношение имеет практическое значение, поскольку позволяет вычислять вероятность - попадания двумерного вектора в прямоугольник, определяемый отрезками и через плотность вероятности .

2. Рассмотрим частный случай соотношения (51.2). Пусть , , , , тогда (51.2) принимает вид:

Это соотношение определяет функцию распределения вероятностей через плотность вероятности и является обратным по отношению к равенству (51.1).

3. Рассмотрим (51.2) при условиях: , , , , тогда из (51.2) следует равенство:

поскольку - как вероятность достоверного события. Соотношение (51.5) называется условием нормировки для плотности вероятности .

4. Если - плотность вероятности вектора , и - плотность вероятности случайной величины , то

Это равенство называется свойством согласованности плотности второго порядка и плотности первого порядка . Если известна плотность второго порядка , то по формуле (51.6) можно вычислить плотность вероятности - случайной величины . Аналогично,

Доказательство (51.6) получим на основе равенства

Представим через плотность согласно (51.4), а через , тогда из (51.8) следует

Дифференцирование (51.9) по приводит к равенству (51.6), что и завершает доказательство.

5. Случайные величины и называются независимыми, если независимы случайные события и при любых числах и . Для независимых случайных величин и :

Доказательство следует из определений функций и , . Поскольку и - независимые случайные величины, то события вида: и - независимые для любых и . Поэтому

- справедливо равенство (51.10). Продифференцируем (51.10) по и , тогда согласно (51.1) получаем следствие для плотностей:

6. Пусть - произвольная область на плоскости , тогда

- вероятность того, что вектор принимает любые значения из области определяется интегралом по от плотности вероятности .

Рассмотрим пример случайного вектора с равномерным распределением вероятностей, который имеет плотность вероятности на прямоугольнике и - вне этого прямоугольника. Числоопределяется из условия нормировки:

Оглавление

- Функция распределения вероятностей двух случайных величин

- Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин

- Условная функция распределения вероятностей

- Условная плотность вероятности

- Числовые характеристики двумерного случайного вектора

- Верхняя и нижняя границы корреляции и ковариации

- Ковариация и независимость двух случайных величин

- Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности

- Коэффициент корреляции

- Коэффициент корреляции и расстояние

- Функция распределения вероятностей случайного вектора

- Плотность вероятности случайного вектора

- Многомерное нормальное распределение

- Характеристическая функция случайного вектора

- Функции от случайных величин

- Распределение вероятностей функции одной случайной величины

- Преобразование нескольких случайных величин

- Хи - квадрат распределение вероятностей

- Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям

- Литература 35

- Функция распределения вероятностей двух случайных величин

- В задачах со случайным исходом обычно приходится учитывать взаимодействие нескольких случайных величин. Это естественным образом приводит к понятию многомерных векторных случайных величин или совокупности нескольких случайных величин. Случайный вектор является третьим основным объектом изучения теории вероятностей после случайного события и случайной величины. Целесообразно начать изучение случайных векторов с рассмотрения двухмерных векторов, свойства которых сравнительно простые и наглядные

- Совместной функцией распределения вероятностей или двумерной функцией распределения вероятностей случайных величин , или случайного вектора называется функция

Список литературы

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1999. - 575с.

2. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1973. - 368с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения М.: Высшая школа, 2000. - 480с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. - 479с.

5. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 256с.

6. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. - 496с.

7. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991. - 400с.

8. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Новое знание, 2000. - 206с.

9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. - 256с.

10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976. - 352с.

11. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.