Курсовая работа на тему: Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума

Введение

Множество - это совокупность объектов любой природы. Определение множества есть описательное определение с помощью слов разговорного языка.

Объекты, образующие в своей совокупности данное множество, называются его элементами или точками. Для обозначения различных множеств чаще всего используются заглавные (прописные) буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов этих множеств - малые (строчные) буквы.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Это записывают так: или .

Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут: , если же не принадлежит, то записывают так: .

Если все элементы множества принадлежат множеству , то называется подмножеством множества , и пишут: .

Очевидно, что если и , то .

Обычно, удобнее рассматривать все множества, участвующие в каком-либо рассуждении, как подмножества некоторого фиксированного множества , которое называют универсальным.

Для того чтобы с определенностью говорить о каком-либо множестве , нужен четкий критерий, правило, условие, свойство, которое дает возможность установить, какие именно элементы входят в . Если обозначить это условие через , то тот факт, что условие порождает множество , записывают следующим образом: .

Может оказаться так, что для некоторого свойства во всем множестве вообще нет элементов, которые удовлетворяют данному условию. В таком случае говорят, что это пустое множество, оно не содержит ни одного элемента.

Для краткости вместо некоторых часто употребляемых выражений общепринято использовать особые математические знаки, называемые кванторами:

Множество называется объединением (или суммой) множеств и ,если оно состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных множеств.

Обозначается это так:

Свойства:

Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и , и , т.е. элементов, общих для этих множеств. Доказать равенство двух множеств - это значит доказать, что всякий элемент , принадлежащих правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот.

Для произвольной совокупности множеств , где пробегает все элементы некоторого множества , пишут

если есть объединение всех множеств

Аналогично, , если - пересечение всех множеств .

Выше я привела примеры некоторых операций над множествами. Существуют также такие операции, как разность двух множеств, Декартовое произведение множеств, отображение множеств, обратные функции, взаимно однозначные соответствия и пр.

Оглавление

- Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума

- Замкнутые и открытые множества

- Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве Заключение

- Используемая литература