Курсовая работа на тему: Теории дифференциальных уравнений в частных производных

Введение

Для сложных математических моделей аналитические решения удаётся получить сравнительно редко. Поэтому среди приближённых математических методов основными методами решения задач являются численные. Эти методы позволяют добиться хорошего качественного и количественного описания исследуемого процесса или явления.

Задача Дирихле может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области , гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения. В рамках данной работы проведено рассмотрение решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа и уравнения Пуассона методом Монте-Карло на основе метода сеток.

Применяя метод сеток для решения краевых задач, прежде всего, появляется задача замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями - заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением.

Оглавление

- Введение.

- Основы теории дифференциальных уравнений в частных производных.

- Основные определения теории уравнений в частных производных.

- Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных.

- Использование вероятностных методов в решении уравнений в частных производных.

- Общее описание методов Монте-Карло.

- Решение уравнений в частных производных методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.

- Заключение.

- Литература.

Заключение

В рамках данной работы проведено изучение основных положений теории дифференциальных уравнений в частных производных, показана возможность применения вероятностных методов для их решения. В качестве примера была выбрана задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.

Во многих областях физики, математики и других естественных наук часто используются численные и эмпирические методы для решения прямых и обратных задач. Следует отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении таких задач, поскольку не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато часто удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Список литературы

- Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Наука.

- Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Изд-во Государственной литературы, 1959. - 602 с.

- Бицадзе А.В. Уравнения математической физики: Учеб. М.: Наука, 1982. 336 с.

- Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука, 1977. 222 с.

- Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: Учеб. пособие. М.: Наука, 1980. 686 с.

- Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его реализация в цифровых машинах. - М.: Физматгиз, 1961. - 315 с.

- Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М., 1967. - 256с.

- Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Марlе. - С-Пб: Питер, 2004. - 145с.

- Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э. Численные методы анализа. - М.:Наука, 1967. - 368 с.

- Канторович Л.В. и Крылов В.И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд.,