Решение задач на тему: Решение многих технических, химических, а также биологических задач требует решения задачи Коши. Эту

Введение

Ввиду того, что для методов Рунге-Кутты не нужно вычислять дополнительные начальные значения, эти методы занимают особое место среди методов классического типа. Ниже будут рассмотрены их свойства, а также некоторые ограничения, присущие этим методам.

С увеличением числа этапов для больших задач, решаемых этими методами, возникли бы трудности с памятью ЭВМ, кроме того (и это важнее), для больших задач, как правило, всегда велики константы Липшица. В общем случае это делает методы Рунге-Кутты высокого порядка не пригодными для таких задач. Во всяком случае, другие методы обычно эффективнее и им следует отдавать предпочтение. Однако методы Рунге-Кутты четвертого порядка являются достаточно легко реализуемыми на ЭВМ, а наличие автоматического выбора шага дает возможность производить вычисления с хорошей точностью. Поэтому их целесообразно применять для довольно широкого множества задач.

Методы Рунге-Кутты имеют несколько весомых достоинств, определивших их популярность среди значительного числа исследователей. Эти методы легко программируются, обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости. Эти методы, как и все одношаговые методы, являются самостартующими и позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования.

В работе основное внимание сконцентрировано на вопросах точности и эффективности решения задач того типа, для которых методы Рунге-Кутты приемлемы.

Программная реализация методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага представлена в виде программы, написанной на языке высокого уровня Borland С++ 3.1. Программу можно запускать в среде МS-DOS или Windows® 95/98/Ме/2к/XР. В качестве выхода программа пишет таблицу значений в файл на диск и рисует график на экране ЭВМ.

Для проверки результатов работы созданной программы одни и те же дифференциальные уравнения решались в математическом пакете Waterloo Maple 9.01 и при помощи созданного приложения (версия 1.43), проводился анализ таблиц значений и графиков решений.

Оглавление

- Введение

- Теоретическая часть

- Постановка задачи

- Метод Эйлера

- Общая формулировка методов Рунге-Кутты

- Обсуждение методов порядка

- Оптимальные формулы

- Условия порядков для методов Рунге-Кутты

- Оценка погрешности и сходимость методов Рунге-Кутты

- Строгие оценки погрешности

- Главный член погрешности

- Оценка глобальной погрешности

- Оптимальный выбор шага

- Практическая часть

- Описание программы Ilya RК-4 версия 1.43 Заключение

- Список использованных источников

- Приложение А. Графики функций

- Приложение Б. Пример таблицы значений функции yx

- Приложение В. Листинг программы Ilya RК-4 версия 1.43

Список литературы

[1]. Амоносов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. "Вычислительные методы для инженеров", М., Высшая школа, 1994, 544с.

[2]. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. "Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи", М., Мир, 1990, 512с.

[3]. Холл Д., Уатт Д. "Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений", М., Мир, 1979, 312с.