Решение задач на тему: Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Введение

Элементы важной и интересной области математики- теория приближения функций. Под приближением функции понимают замену по определенному правилу одной функции другой, близкой к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений, восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным, и т.п.

Основоположником теории аппроксимации функций является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894).

В качестве приближающих функций выбирают чаще всего алгебраические и тригонометрические многочлены. Так же важное значение имеет метод наилучшего приближения, предложенный Чебышевым. Он возник из решения практических задач, связанных с конструированием прямолинейно направляющих шарнирных механизмов. Такие механизмы в XIX веке использовались в паровых машинах- основных универсальных двигателях того времени- для поддержания прямолинейного движения поршневого штока. К ним относятся параллелограмм Уатта и некоторые его разновидности.

На дальнейшее развитие этой теории оказало влияние открытие, сделанное в конце XIX века немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Им была доказана принципиальная возможность приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности алгебраическим многочленом, что явилось второй причиной применения этих многочленов как универсального средства приближения функций, с заданной сколь угодно малой ошибкой.

Кроме алгебраических многочленов, другим средством приближения функций являются тригонометрические многочлены, значение которых в современной математике, конечно, не исчерпывается указанной ролью.

Оглавление

- Введение

- Постановка основной задачи теории аппроксимации

- Основная теорема аппроксимации в линейном нормированном пространстве

- Теорема аппроксимации в пространстве Гильберта

- Первая теорема Вейерштрасса

- Вторая теорема Вейерштрасса

- Круг идей П.Л. Чебышева

- Теорема Валле-Пуссена и теорема существования

- Теорема Чебышева

- Переход к периодическим функциям

- Обобщение теоремы Чебышева

- Методы аппроксимации

- Приближение функции многочленами

- Формула Тейлора

- Ряды Фурье Заключение

- Литература

Заключение

Теорией приближения функций многочленами занимались такие математики, как Эйлер, Лаплас, Фурье, Понселе, и, наконец, Чебышев.

У Чебышева, который приступил к задаче о наилучшем устройстве параллелограмма Уатта, возникли математические вопросы, о которых в то время знали очень мало. Для решения он разработал метод, названный французским математиком Жозефом Бертраном (1822-1900) чудом анализа. Этот метод сохранил своё значение и после того, как паровые машины, а вместе с ними и параллелограмм Уатта, отошли на задний план. Созданная Чебышевым теория приближения функций интенсивно развивалась и развивается сейчас в трудах российских и иностранных учёных. В терминах этой теории отражена одна из фундаментальных идей математики- приближение (замена) сложных объектов более простыми и удобными. Эта идея является основной в вопросах взаимосвязей математики и практики, что стимулировало развитие теории приближения функций в прошлом и, надо полагать, обеспечит к ней интерес в будущем.

Список литературы

1. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, М., "Наука", 1971.

2. Постников М.М., Аналитическая геометрия, М., "Наука", 1973.

3. Розенфельд Б.А., Многомерные пространства, М., "Наука", 1966.

4. Розенфельд Б.А., Неевклидовы пространства, М., "Наука", 1969.

5. Сазанов А.А., Четырехмерный мир Минковского, М., "Наука", 1988.

6. Яглом И.М., Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия, М., "Наука", 1969.