Решение задач на тему: Квазирешетки в прикладных задачах обработки цифровой информации

Введение

В процессе создания и в стремлении создать детальную картину исследуемых процессов мы приходим к необходимости строить все более сложные математические модели, которые в свою очередь требуют универсального тонкого математического аппарата. Реализация математической модели на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области электронно-вычислительной техники.

Роль математических моделей далеко не исчерпывается проблемой познания закономерностей. Их значение непрерывно возрастает в связи с естественной тенденцией к оптимизации технических устройств и технологических схем планирования эксперимента.

Всякая редукция задач математической физики или техники в конечном итоге обычно сводится к алгебраическим уравнениям той или иной структуры. Поэтому предмет вычислительной математики, как правило, связан с методами сведения задач к системам алгебраических уравнений и их последующему решению.

Построение систем алгебраических уравнений, соответствующих той или иной задаче с непрерывно меняющимися аргументами, обычно существенно опирается на априорную информацию, связанную с исходной задачей. Такой информацией может быть принадлежность решения к тому или иному классу функций, обладающих определенными свойствами гладкости, свойства операторов задачи, свойства входных данных и т. д. Априорная информация во многих случаях оказывает решающее влияние на выбор методов вычислительной математики, используемых для решения указанных алгебраических уравнений. При этом, как правило, должно иметь место соответствие между априорными требованиями для исходной задачи и свойствами ее алгебраического аналога. Это прежде всего относится к операторам задач, свойства которых должны быть по возможности сохранены при редукции задачи от непрерывных аргументов к дискретным.

Такой принцип, по-видимому, является основополагающим при решении многих задач. Одновременно следует отметить, что преемственность свойств операторов задач при редукции дает возможность опираться на хорошо разработанные методы функционального анализа, что обычно позволяет простым и универсальным путем проводить исследования эффективности алгоритмов вычислительной математики.

Актуальность данной работы заключается в том, что в настоящее время большое внимание уделяется применению компьютерных технологий при вычислении задач. А сложные задачи математической физики, часто в процессе решения, редуцируются к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию алгоритмов на современных вычислительных машинах. Именно с такими сложными задачами зачастую сталкиваются исследователи в своей практической деятельности.

Обзор сеточных методов вычислительной математики, данный в первом разделе, сопровождается постановкой ряда проблем вычислительной математики и анализом тенденций их развития рассматриваются методы, к которым в последнее время значительно возрос интерес. Эти методы позволяют в ряде случаев свести решение задач в области со сложной границей к решению последовательности задач в более простых областях. Отметим здесь метод разделения области, исследования по которому ведутся во многих странах. Интерес к данному методу обусловлен и тем обстоятельством, что он часто допускает крупноблочное распараллеливание процесса решения исходной задачи. Это обстоятельство является важным в связи с внедрением в практику вычислений многопроцессорных ЭВМ, работающих в параллельном режиме.

Второй раздел посвящена постановке и численному решению прикладных задач математической физики. Методы математического моделирования сложных задач науки и техники постоянно выдвигают перед исследователем проблемы, связанные с восстановлением решения задачи по некоторым функционалам от решения или с восстановлением

Целью дипломной работы является разработка простого метода для решения сложных задач вычислительной и прикладной математики.

В ходе разработки программы защиты необходимо решить следующие задачи:

. Построить гибкий сеточный аппарат для решения широкого спектра практических задач.

. Минимизировать время разработки.

. Произвести тестирование разработанной программы.

. Проверить отказоустойчивость программы защиты.

. Минимизировать стоимость разработки.

В списке использованных источников содержатся литературные источников, которые были применены в процессе изучения и разработки алгоритма, в составе которых присутствуют как и литературные издания, научные статьи так и ссылки на интернет источники.

В заключении подведены итоги разработки и проведена оценка успешности разработанного алгоритма.

В приложении содержится листинг расчетных программ.

Оглавление

- Введение

- Решетки и их свойства

- Основы теории сеточных методов

- Квазирешетки и их свойства

- Квазирешетки в прикладных задачах течения жидкости

- Уравнение теплопроводности

- Устойчивость. Исследование устойчивости методом гармонического анализа

- Постановка задачи

- Квазирешетки с применением полиномов Бернштейна ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- Список использованных источников

- Приложения

- Приложение

Список литературы

1. Марчук, Г.И. Методы вычислительной [Текст]/ Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1989. - 608.

2. Moody R. V., Model sets: а survey, Quasicrystals tо More Complex Systems (F. Alex, F. Denoyer, and J. Р. Gazeau, eds.), EPD Science, Les Ulis, and Springer-Verlag, Berlin, 2000, рр. 145-166.

. Журавлев В. Г., Суммы квадратов над о-кольцом Фибоначчи, Зап. науч. семин. ПО-МИ 337 (2006), 165-190.

8. Журавлев В. Г., Одномерные разбиения Фибоначчи, Труды 17-й Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики, Казань, 2005, с. 40-55.с

. Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 3-е изд., Наука, М., 1985.

. Дробышевича В. И., Дымникова В. П., Ривина Г. С., Задачи по вычислительной математике [Текст]/ В. И. Дробышевича, В. П. Дымникова, Г. С. Ривина. - М.: Наука, 1988. - 478.

. Конвей, Дж, Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы [Текст]/ Дж. Конвей, Н. Слоэн. - М.: Мир, 1990. - 414.

. Свободная энциклопедия Википедия [Электронная энциклопедия] // Сетевая энциклопедия Wikipedia. 2000. - http://ru.wikipedia.org/wiki/ - Загл. с экрана.

. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений [Текст]/ И.С. Березин, Н.П. Жидков. - М.: Физматгиз, 1962. - 507.

. Мэтьюз, Джон, Г., Финк, Куртис, Д. Численные методы. Использование MATLAB, 3-е издание [Текст]/ Г. Джон Мэтьюз, Финк, Куртис. - М.: Вильяме, 2001. - 720.

. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики [Текст]/ А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1972.

. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы [Текст]/ В.Ф. Формалев, Д.Л. Ревизников - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400.

. Пирумов У.Г., Численные методы [Текст]/ У.Г. Пирумов. - М.: МАИ, 1998. - 346.

. Калиткин Н.Н., Численные методы [Текст]/ Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1976. - 537.

19. Hunt, Brian R Matlab R2007 с нуля [Текст]/ -М.:Лучшие книги, 2008. - 352.

. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы [Текст]/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.:БИНОМ, 2007. - 636.

. Гречко Л.Г., Сугаков В.И., Томасевич О.Ф., Федорченко А.М. Сборник задач по теоретической физике [Текст]/ Л.Г. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич , А.М. Федорченко. - М.: Высшая школа, 1972. - 336.

. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики [Текст]/ Б.П. Демидович, И.А. Марон. - М.: Наука, 1966. - 664.

. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления [Текст]/ Н.Е. Кочин. - М.:Наука,1965. - 425.

. Мэтьюз Дж., Финк Г., Куртис Д. Численные методы. Использование Matlab [Текст]/ Дж. Мэтьюз, Г. Финк, Д. Куртис. - ИД.:Вильямс, 2001. - 720.

. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности [Текст]/ Б.Е. Победря.- М.: МГУ, 1995. - 366.

. Поршнев С.В. Вычислительная математика [Текст]/ С.В. Поршнев. - СПб.:БХВ-Петербург,2004. - 320.

. Срочко В.А. Численные методы [Текст]/ В.А. Срочко. - С.-П.:Лань, 2010. - 208.

. Бернштейн С.Н. О свойствах однородных функциональных классов // Доклады Ак. Наук СССР,-1947.-№57.-с.111-114.

. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. -М.: Наука.-1977.-с.512.

. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР-Математика,-1931.-№15.-с.219-242.