Реферат на тему: Теоретическая часть. Математическое моделирование дифференциальных игр

Введение

Необходимым элементом качественного анализа и количественной оценки практически любых явлений материального мира является их моделирование, то есть выявление основных существенных в рамках круга рассматриваемых задач законов, определяющих поведение системы и их представление в наиболее простой и удобной для расчетов форме [1]. Любая модель безусловно представляет из себя упрощенное описание реальности и имеет свою ограниченную область применения [2], при этом вне этой области необходимо создание более точных, но и более сложных моделей, как, например, при переходе к скоростям, сравнимым со скоростью света, модель классической Ньютоновской механики переходит в более сложную модель специальной теории относительности.

Для широкого круга задач предпочтительным оказывается использование моделей статистического подхода [3, 4], когда вместо моделирования сложных законов эволюции системы производится переход к вероятностной интерпретации событий и расчет вероятности наступления того, или иного исхода. В теории игр [5] данный подход является довольно распространенным, однако для ряда задач он оказывается слишком грубым и не способным учесть всю специфику протекающих явлений.

В известной книге [6] Р. Айзексом был рассмотрен класс игр, названный им дифференциальными, для которых оптимальным является использование детерминированного подхода, основанного на составлении и решении системы дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию протекания игры. Классическими примерами дифференциальных игр являются, например, сражения, воздушные бои, игра в футбол, преследование одного объекта другим и т.д.

Р. Айзекс вводит понятие управляемого объекта, то есть такого объекта, состояние которого определяется вектором фазового пространства, а его изменение описывается векторным дифференциальным уравнением вида

В этом уравнении u является (возможно многомерным) управляющим параметром, который воплощает "свободу воли объекта". Собственного говоря, задачей объекта в рамках игрового процесса является оптимальный выбор значения управляющего параметра, обеспечивающий максимизацию некоторой целевой функции (выигрыша).

В данной работе мы рассмотрим важный вид дифференциальной игры, называемой игра "на изнурение и нападение". В первой главе приводится теоретический анализ данной игры, включая общий обзор теоретико-игрового подхода, построение и исследование модели рассматриваемой игры. Во второй главе работы мы осуществляем программную реализацию данной модели на языке программирования python [7, 8]. Отметим, что на сегодняшний день python является самым распространенным языком для построения научных и технических программных продуктов ввиду компактности и наглядности синтаксиса языка, мощной технической поддержки и наличия крупнейшей свободной базы библиотек (пакетов) с реализованными алгоритмами практически во всех областях научной деятельности.

Оглавление

- Введение 3

- Теоретическая часть

- Математическое моделирование дифференциальных игр

- Математическая модель игры на изнурение и нападение

- Анализ модели и выявление оптимальной стратегии

- Программная реализация

- Инструменты для программной реализации

- Структура программы

- Тестовые расчеты и анализ результатов

- Заключение 19

- Список использованных источников 20

- Приложение. листинг кода

Заключение

В данной работе нами были рассмотрены основные теоретические аспекты моделирования дифференциальных игр, предполагающие совместное применение методов теории игр, теории управления и вариационного исчисления. С использованием этого подхода была изучена игра "на изнурение и нападение" и была получена оптимальная стратегия игроков, сводящаяся к переходу в нужный момент от тактики изнурения к тактике нападения.

Также нами было проведено численное моделирование данной игры с использованием разработанной программы на языке программирования python. Данная программа в рамках приближения дискретного времени последовательно разыгрывает шаги игры в соответствии с заданными начальными условиями и функциями, возвращающими желаемые значения фактора изнурения в любой момент игры.

Полученные при численном моделировании игры результаты для трех различных стратегий игроков находятся в полном соответствии с проведенным теоретическим анализов.

Список литературы

2 Самарский, Александр Андреевич, and А. П. Михайлов. Математическое моделирование. М.: Наука. Физматлит. 1997.

3 Айвазян, Сергей Артемьевич. "Прикладная статистика". Рипол Классик. 1983.

4 Дубров А. М., Мхитарян В. С. и Трошин Л. И. "Многомерные статистические методы". М.: Финансы и статистика, 284 с. 2013.

5 Оуэн, Гильермо. Теория игр. Рипол Классик. 1971.

6 Айзекс, Р., and Л. С. Понтрягин. Дифференциальные игры. Москва: Мир. 1967.

8 Лутц, Марк. "Python карманный справочник". 2014.

9 Numpy, python пакет http://www.numpy.org/

10 Matplotlib, python пакет http://matplotlib.org/

11 Jupyterlab, графический интерфейс для python https://github.com/jupyterlab/jupyterlab