Курсовая работа на тему: Основные понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями

Введение

Термин "дифференциальное уравнение" принадлежит Лейбницу (1676, опубликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве универсального способа использовались разложения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды [1].

Сейчас широкое внедрение в науку вычислительных методов, связанное с появлением вычислительных средств большой мощности, требует переоценки значения различных разделов математики и, в частности, разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время выросло значение методов качественного исследования решений дифференциальных уравнений, а также методов приближенного нахождения решений [2].

Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях или квадратурах. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Этим обусловлена актуальность выбранной темы исследования.

Цель данной работы: показать применение метода степенных рядов при интегрировании дифференциальных уравнений.

Объектом исследования выступает процесс интегрирования дифференциальных уравнений методом степенных рядов.

Предметом исследования являются формы, методы и средства интегрирования дифференциальных уравнений степенными рядами.

В соответствии с поставленной целью можно сформулировать основные задачи данной работы:

. Рассмотреть основные понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями.

. Проанализировать метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

. Применить метод степенных рядов для решения различных задач.

Структура работы: титульный лист, бланк задания на работу, аннотация, содержание, введение, основная часть, заключение, список использованной литературы.

Основная часть работы состоит из двух глав. В первой главе раскрываются понятия ряда, степенного ряда, ряда Тейлора, дифференциальных уравнений. Во второй главе рассмотрены примеры интегрирования дифференциальных уравнений степенными рядам.

Для исследования теоретической части работы использовались материалы учебной литературы и периодических изданий, указанные в списке использованной литературы.

Объем работы: 26 страниц.

Оглавление

- Введение

- Основные понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями

- Ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости

- Степенные ряды. Свойства степенных рядов

- Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

- Дифференциальные уравнения

- Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

- Примеры использования степенных рядов при интегрировании дифференциальных уравнений

- Уравнение Эйри

- Уравнение Бесселя

- Примеры интегрирования

- Примеры интегрирования в Maple ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- Список использованной литературы

Заключение

Цели, поставленные в курсовой работе, полностью достигнуты, решены следующие задачи:

. Определены основные понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями.

. Рассмотрен метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

. Решены задачи по данной теме.

В данной курсовой работе изучен и систематизирован материал для применения его студентами во время самостоятельного изучения метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Рассмотрены понятия ряда и дифференциальных уравнений. Проведены приближенные вычисления с помощью рядов.

Работа может быть использована в качестве учебно-методического пособия для студентов технических и математических специальностей.

Результаты работы могут служить основой для дальнейших исследований.

Список литературы

1 Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. Перевод с английского. - М.: Букинист, 2003. - 352 с.

Власова Б. А., Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Приближенные методы математической физики: Учебник для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 700 с.

Будак Б. М. Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. - М.: Физматлит, 2002. - 512 с.

Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Изд-во Моск. ун-та ЧеРо,2000. - 624 с.

Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И., и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 3. - М.: Изд-во Едиториал УРСС, 2005. - 240 с.

Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика: Общий курс: Учебник. - М.: Высш. шк., 2000.- 351 с.

Малахов А. Н., Максюков Н. И., Никишкин В. А. Высшая математика. - М.: ЕАОИ, 2008. - 315 с.

Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. - М.: Амалфея, 2003. - 352 с.

Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 352 с.

Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Амалфея, 2001. - 475 с.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. - М.: Физматлит, 2001. - 810 с.

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. - М.: Изд-во Оникс, 2006. - 416 с.

Егоров А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. - М.: Физматлит, 2005. - 384 с.

Васильева А. В., Медведев Г. Н., Тихонов Н. А., Уразгильдина Т. А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. - М.: Физматлит, 2003. - 432 с.

Савотченко С. Е., Кузьмичева Т. Г. Методы решения математических задач в Maple. - Б.: Белаудит, 2001. - 116 с.

Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 2004. - 464 с.