Курсовая работа на тему: Проективное описание кривых второго порядка и кривых второго класса

Введение

Роль идей и методов проективной геометрии весьма значительна в математической науке и, особенно, в ее геометрических разделах. Еще в XVII веке, во времена возникновения проективной геометрии, Блез Паскаль, один из ее основоположников, показал способы решения множества геометрических задач при помощи тогда ее еще новых приемов.

Эта возможность решения геометрических задач была настолько расширена в начале XIX века рядом геометров, и среди них Жаном Понселе и Якобом Штейнером, что видный математик этого века, Юлиус Плюккер, был вправе заявить, в 1830 году, об "ошеломляюще простом искусстве" геометрии положения (проективной геометрии), с помощью которой достигается "несметное множество результатов".

Проективная геометрия находится в тесной связи с высшей алгеброй, в том числе с одним из важнейших разделов алгебры - с теорией групп.

Проективная геометрия имеет большое значение как теоретическая база прикладной геометрической дисциплины, носящей название начертательная геометрия. Начертательная геометрия была и остается мощным орудием техники.

Проективная геометрия, изучающая свойства геометрических фигур, которые сохраняются при любом проектировании данной фигуры с одной плоскости на другую, показала, что задачи начертательной геометрии составляют один из классов задач проективной геометрии.

Заметим, что проективная геометрия лежит в основе теории аэрофотосъемки. Она же играет видную роль в графостатике - науке, решающей графическим путем вопросы равновесия твердых тел.

В той или иной мере проективной геометрией пользуются рабочие, мастера и конструкторы на заводах, топографы и геодезисты, архитекторы и декораторы, художники и скульпторы. Проективная геометрия необходима и космографам, изучающим Землю, Луну и планеты по фотоснимкам, сделанным с космических кораблей.

Цель же моей курсовой работы - рассмотреть с помощью аппарата проективной геометрии закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка, теорему Брианшона.

Также мною будет рассмотрено применение теорем Паскаля и Брианшона к построениям с помощью одной только линейки.

Оглавление

- Введение 3

- Проективное описание кривых второго порядка и кривых второго класса

- Основная теорема для рядов и пучков ii порядка

- Теорема паскаля

- Частные случаи теоремы паскаля

- Теорема брианшона

- Частные случаи теоремы брианшона

- Тождественность понятий кривой второго порядка и кривой второго класса. теорема маклорена

- Применение теорем паскаля и брианшона к построениям с помощью одной только линейки

- Примеры построения кривых второго порядка

- Заключение 46

- Список использованной литературы 48

Заключение

Еще у математиков Древней Греции мы находим ряд геометрических предложений, которые теперь относим к области проективной геометрии.

Несколько таких предложений помещено в труде "Математическое собрание" греческого математика Паппа Александрийского, жившего в III веке нашей эры. Замечательная теорема, которую мы называем теоремой Паппа, высказана и доказана в 139-м предложении VII книги "Математического собрания".

Однако идеи древних греков в области проективной геометрии не были систематизированы и терялись среди множества теорем метрического характера.

В XVII столетии Паскаль написал "Опыт о конических сечениях". Его работа положила начало проективной геометрии.

Сын известного математика Этьена Паскаля, Блез Паскаль, уже в детстве обнаружил необыкновенные способности. Теорему о вписанном шестиугольнике он открыл и доказал в пятнадцатилетнем возрасте. Одновременно он решил многие задачи, связанные с этой теоремой.

Теорему об описанном шестиугольнике Шарль Брианшон (1785-1864) открыл в 1806 году. Он сформулировал и доказал эту теорему в возрасте двадцати одного года, будучи учеником Политехнической школы в Париже.

Теоремы, которые мы теперь так естественно рассматриваем совместно, были отделены одна от другой большими промежутками времени: между теоремами Паскаля и Брианшона прошло полтора столетия.

Рассматривая представленные частные случаи, можно убедиться в том, что каждой новой фигуре Паскаля может быть сопоставлена, по принципу двойственности, новая фигура Брианшона и соответствующие свойства этих фигур двойственны.

Частные случаи теорем Паскаля и Брианшона применяются для решения многих геометрических задач.

Например, с помощью теоремы о вписанном пятиугольнике легко решается задача о проведении касательной в любой точке любого невырожденного конического сечения.

Для проведения такой касательной мы будем считать заданную точку на кривой вершиной некоторого вписанного пятиугольника. Построим произвольно остальные четыре вершины пятиугольника и проведем его сторону учитывая при этом лишь удобство выполнения чертежа (Рис. 25). Определив точки пересечения двух пар противоположных сторон, проведем прямую Паскаля. Продолжим оставшуюся пятую сторону, до пересечения с прямой Паскаля. Наконец, соединив полученную точку пересечения с заданной точкой прикосновения, мы найдем искомую касательную.

Заметим, что, имея на чертеже заданное коническое сечение, можно провести касательную в любой его точке, пользуясь только линейкой.

Список литературы

1. Четверухин Н.Ф. "Проективная геометрия" (издание 7-е) - Москва: "Просвещение", 1961, стр. 152-191;

. Гуревич Г.Б. "Проективная геометрия" - Москва: "ФизМатГиз", 1960, стр. 165-168;

. Юнг Д.В. "Проективная геометрия" (пер. с английского под редакцией Кагана В.Ф.) - Москва: "Издательство иностранной литературы", 1949, стр. 64-70;

. Бьюзман Х., Келли П. "Проективная геометрия и проективные метрики" (пер. с английского под редакцией Яглома И.М.) - Москва: "Издательство иностранной литературы", 1957, стр. 87-91;

. Бер Р. "Линейная алгебра и проективная геометрия" (пер. с английского под редакцией Куроша А.Г.) - Москва: "Издательство иностранной литературы", 1955, стр. 176-183;

. Хартсхорн Р. "Основы проективной геометрии" - Москва: "Мир",1970, стр. 143-161;

. Игнациус Г.И. "Проективная геометрия" - Москва: "Знание", 1966, стр. 3-5, 32-35;

. Ефимов К.В. "Высшая геометрия" - Москва: " Наука",1971, стр. 196-217;

. Франгулов С.А. "Лекции по проективной геометрии" - Ленинград: ЛГПИ, 1975, лекция №7, стр. 55-61;

. Коксетер С.М. "Новые встречи с геометрией" - Москва: "Наука",1978, стр. 78-85;

. Базылев К.В. "Геометрия" - Москва: "Просвещение",1975, стр. 142-163;

. Потоцкий Е.М. "Что изучает проективная геометрия" - Москва: "Просвещение",1982, стр. 5-6.