Дипломная работа на тему: Отображение Пуанкаре. Общие сведения об отражающей функции

Введение

Многочисленные нужды практики приводят нас к необходимости моделирования динамики развития реальных систем, а тем самым и зачастую к необходимости построения систем дифференциальных уравнений с определёнными свойствами. При моделировании задач классической физики дифференциальные равнения появляются естественным образом, когда мы формулируем на математическом языке соответствующие физические законы. В последнее время, однако, всё чаще приходится иметь дело с более сложными реальными системами, и здесь на первый план выходит качественное моделирование. При этом очень часто нам приходится составлять модели таких реальных систем, для которых общие фундаментальные законы могут служить лишь некоторым ориентиром. В этом случае мы, как правило, вынуждены отказаться от точных количественных оценок и строить модель, отражающую лишь качественные стороны поведения системы. Обычно это достигается искусным заданием правых частей соответствующей дифференциальной системы.

Оглавление

- Введение.

- Отображение Пуанкаре.

- Общие сведения об отражающей функции.

- Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции.

- Стационарный интеграл.

- Способ построения дифференциальных систем, эквивалентных стационарным системам.

- О некоторых аспектах применения отражающей функции для исследования свойств решений дифференциальных систем.

- Заключение.

- Список используемых источников.

Заключение

При изучении поставленных вопросов важную роль играет отображение за период (отображение Пуанкаре), для отыскание которого используют вспомогательные функции, названные отображающими функциями.

Отражающей функцией названа функция, позволяющая по состоянию системы x (t) в момент времени t найти состояние этой системы x (-t) в момент времени (-t). Эта функция применена для качественного исследования неавтономных систем и, в частности, для решения вопросов существования и устойчивости периодических дифференциальных систем.

Знание отражающей функции позволяет определить отображение за период системы и, значит, найти начальные данные её периодических решений, а также проверить их на устойчивость.

Основное соотношение

позволяет найти отражающую функцию или установить её структуру. Даны необходимые и достаточные условия, того, чтобы первая компонента отражающей функции дифференциальной системы второго порядка не зависела от второй компоненты.

Список литературы

- Красносемский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1966 - 332 с.

- Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. - Минск: Издательство БГУ имени В.И. Ленина. 1981 - 104 с.

- Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. -Минск, издательство "Университетское". 1981 - 76 с.

- Мироненко В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. - Гомель:. 2004. - 196 с.

- Мироненко В.И. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. - Дифференц. уравнения, Т.40, 10, 2004. С.1325-1332 с.

- Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям. Минск, 1977. - 191 с.

- Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М., 1979 - 682 с.