Решение задач на тему: Метод замены переменной при решении задач. Общие положения

Введение

Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория и развиваются логическое мышление и творческие способности. Развитие творческих способностей учащихся старших классов при обучении математике осуществляется более эффективно при вовлечении их в творческую деятельность, которая включает в себя:

1. Осознание, что данная конкретная задача есть представитель класса однородных задач.

2. Отыскание различных вариантов решения, их сопоставление, выявление сильных и слабых сторон каждого способа решения с целью выбора из них наиболее рационального, простого, "изящного". Сравнение и анализ различных решений одной задачи делает знания более прочными и осознанными. Установлено, что решение одной и той же задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд такого же числа стереотипных заданий.

3. Самостоятельное комбинирование известных способов деятельности.

4. Изобретение, по крайней мере, для данной задачи принципиально нового приема решения.

Для развития творческих способностей учащихся наиболее ценными являются сложные и нестандартные задачи. Решение сложных задач по математике во многом зависит от опыта их решения, от степени овладения методами их решения и техникой преобразований. Нестандартные задачи - это задачи, для решения которых у учащихся нет готового алгоритма и нужен самостоятельный поиск ключевой идеи. При решении нестандартных задач формируется математическая культура, воспитывается гибкость ума и осуществляется постижение единства математики. Вот почему, по мнению Д. Пойа, "нестандартные задачи могут способствовать интеллектуальному развитию ученика, чего нельзя сказать о стандартных" [36].

Важнейшим источником нестандартных задач являются олимпиадные и конкурсные задания. Как правило, нестандартные задачи требуют нестандартного подхода к их решению. Важно, чтобы у учащихся был создан запас методов решения нестандартных задач, так как не всегда школьники могут самостоятельно додуматься до нестандартного метода решения.

С точки зрения стандартных школьных методов решения алгебраических задач метод тригонометрической подстановки является нестандартным приемом. С другой стороны, тригонометрическая подстановка позволяет решать сложные многоходовые задачи. Она применяется при решении таких алгебраических задач, которые своими средствами не решаются или решаются очень сложно.

Учащиеся классов с углубленным изучением математики знакомятся с методом тригонометрической подстановки [21], [57] но есть смысл в более подробном и глубоком его изучении. Необходимость в таком изучении в классах с углубленным изучением математики обусловлена следующими положениями.

1. Углубленное изучение предполагает наполнение курса разнообразными, интересными и нестандартными задачами, которые играют существенную роль в развитии творческих способностей учащихся. Применение тригонометрической подстановки для решения задач позволяет дать эффективный способ решения нестандартных олимпиадных задач [8], [9], [16], [25], [29].

2. Учащиеся классов с углубленным изучением математики в условиях серьезного конкурса на вступительных экзаменах в вузы с профилирующим изучением математики окажутся перед необходимостью решить трудные и очень трудные задачи. Неоценимую помощь в таком решении им может оказать метод тригонометрической подстановки [4], [10], [30], [31], [37]-[40], [44], [51], [52].

3. Задачи, предлагаемые к решению с помощью тригонометрической подстановки, базируются на достаточно высоком уровне владения техникой как алгебраических, так и тригонометрических преобразований. Это позволяет оценить метод решения и применить его в сходной ситуации.

4. Применение тригонометрической подстановки приучает учащихся к полноте аргументации введения подстановки для решения задач.

5. Применение тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач направлено на установление взаимосвязи различных разделов математики, а именно: алгебры и тригонометрии. Важно воспитать у учащихся смелости и находчивости в поиске способов решения задач не только в ближайшем окружении условия, но и в более широкой, иногда неожиданной области.

Наиболее уместно организовать работу, посвященную применению тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач, на факультативных занятиях по математике. При этом целесообразно предложить учащимся для решения разнообразные задачи: рациональные и иррациональные уравнения, неравенства, их системы, задания на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, задачи с параметрами. Желательно создать такую работу, которая бы содержала в себе подборку из разнообразных алгебраических заданий, решаемых с помощью тригонометрической подстановки, не ограничиваясь рассмотрением отдельного класса задач.

Цель работы: разработать методику применения тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач старшими школьниками на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики.

Объект исследования: процесс применения тригонометрической подстановки как метода решения разнообразных алгебраических задач.

Предмет исследования: организация деятельности учащихся по овладению тригонометрической подстановки на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики.

При исследовании исходим из гипотезы, что применение методики, разработанной на основе сравнительного анализа решения большого числа задач, позволит развить творческие способности учащихся и подготовит их к вступительным экзаменам в серьезные вузы.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Выявить теоретические основы возможности введения тригонометрической подстановки.

2. Провести сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее.

3. На основе проведенного сравнительного анализа разработать методику изучения тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач на факультативных занятиях по математике в старших классах с углубленным изучением математики.

4. Провести опытное испытание эффективности разработанной методики.

Глава 1

Оглавление

- Введение 3

- Метод замены переменной при решении задач

- Общие положения

- Тригонометрическая подстановка

- Применение метода тригонометрической подстановки при решении задач

- Решение уравнений

- Иррациональные уравнения

- Рациональные уравнения

- Показательные уравнения

- Решение систем

- Доказательство неравенств

- Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

- Решение задач с параметрами

- Опытное преподавание темы Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач на факультативных занятиях по математике

- Заключение 63

- Литература 65

- Приложение

Заключение

При проведении исследования были поставлены и решены следующие задачи:

1. Исследованы теоретические основы возможности введения тригонометрической подстановки.

2. Проведена работа по подбору и объединению в одном источнике решений с помощью тригонометрической подстановки разнообразных алгебраических заданий: уравнений, неравенств, их систем, задач с параметрами и задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. Работа включает в себя задания, решение которых с помощью тригонометрической подстановки и без нее равноценны, задания, которые не могут быть решены стандартными алгебраическими приемами без применения тригонометрической подстановки и задания, которые решаются без тригонометрической подстановки проще.

3. Проведен сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее. Метод тригонометрической подстановки рассмотрен во многих источниках по математике, в том числе [3]-[6], [9]-[14], [16], [18], [22]-[25], [29]-[32], [37]-[39], [42]-[45], [47], [49], [51], [57]. Но практически ни в одном из них не был проведен сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее и практически нет источников, в которых была бы представлена возможность применения тригонометрической подстановки для решения большого класса задач.

4. На основе проведенного сравнительного анализа была разработана методика изучения тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач на факультативных занятиях по математике в старших классах с углубленным изучением математики.

5. Проведено опытное испытание эффективности разработанной методики в 10 классе ФМЛ.

Опытная работа показала, что введение факультативного курса "Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач" в классы с углубленным изучением математики оправдано. В состав диагностирующей контрольной работы, которая была проведена на завершающем занятии факультативного курса, были включены задачи, которые допускали как алгебраический способ решения, так и решение с помощью тригонометрической подстановки. Школьникам была предоставлена свобода выбора метода решения каждого задания. Результаты работы показали, что учащиеся без особого труда выделяют задачи, в которых возможно ввести тригонометрическую подстановку; применяют ее для решения трудных и очень трудных конкурсных задач; осуществляют сравнение и выбор наиболее рационального способа решения. А значит, гипотеза, сделанная в начале дипломной работы, подтвердилась. Введение материала, связанного с тригонометрической подстановкой, на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики способствует развитию творческих способностей учащихся и подготавливает их к вступительным экзаменам в вузы с повышенными требованиями к математике. Единственное, над чем еще можно поработать - грамотное обоснование введенной замены.

Список литературы

1. Алгебра и математический анализ. 10 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2001. - С. 335.

2. Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2001. - С. 288.

3. Алексеев А. Тригонометрические подстановки / А. Алексеев, Л. Курляндчик // Квант. - №2. - 1995. - С. 40-42.

4. Балаян Э. Н. Репетитор по математике для поступающих в вузы / Э. Н. Балаян. - Ростов-на-Дону: Изд-во Феникс, 2003. - С. 736.

5. Болтянский В. Г. Лекции и задачи по элементарной математике / В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин. - М.: Изд-во Наука, 1972. - С. 592.

6. Вавилов В. В. Задачи по математике. Алгебра / В. В. Вавилов, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, П. И. Пасиченко. - М.: Наука, 1988. - С. 439.

7. Василевский А. Б. Методы решения задач / А. Б. Василевский. - Минск: Вышэйшая школа, 1974. - С. 240.

8. Василевский А. Б. Обучение решению задач: Учебное пособие для педагогических институтов / А. Б. Василевский. - Минск: Вышэйшая школа, 1988. - С. 255.

9. Вороной А. Н. Пять способов доказательства одного неравенства / А. Н. Вороной // Математика в школе. - №4. - 2000. - С. 12.

10. Вороной А. Н. Циклические системы уравнений / А. Н. Вороной // Математика в школе. - №7. - 2003. - С. 71-77.

11. Всероссийские математические олимпиады школьников: Книга для учащихся / Г. Н. Яковлев, Л. П. Купцов, С. В. Резниченко, П. Б. Гусятников. - М.: Просвещение, 1992. - С. 383.

12. Горнштейн П. И. Экзамен по математике и его подводные рифы / П. И. Горнштейн, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. - М.: Илекса, 2004. - С. 236.

13. Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. - М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2002. - С. 336.

14. Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре / П. И. Горнштейн. - М.: Бюро Квантум, 1995. - С. 100-103. - Приложение к ж. "Квант", №3/95.

15. Громов А. И. Математика для поступающих в вузы. Методы решения задач по элементарной математике и началам анализа / А. И. Громов, В. М. Савчин. - М.: Изд-во РУДН Народная Компания Евразийский регион, 1997. - С. 264.

16. Дорофеев Г. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Избранные вопросы элементарной математики / Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. - М.: Просвещение, 1976. - С. 640.

17. Епифанова Т. Н. Отыскание экстремальных значений функций различными способами / Т. Н. Епифанова // Математика в школе. - №4. - 2000. - С. 52-55.

18. Зарубежные математические олимпиады / С. В. Конягин, Г. А. Тоноян, И. Ф. Шарыгин. - М.: Наука, 1987. - С. 416.

19. Канин Е. С. Учебные математические задачи: Учебное пособие / Е. С. Канин. - Киров: Изд-во ВятскогоГГУ, 2003. - С. 191.

20. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике / Ю. М. Колягин. - М.: Просвещение, 1977. - С. 143.

21. Лапушкина Л. И. Системы алгебраических уравнений / Л. И. Лапушкина, М. И. Шабунин // Математика в школе. - №6. - 1998. - С. 22-26.

22. Махров В. Г. Новый репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов / В. Г. Махров, В. Н. Махрова. - Ростов-на-Дону: Изд-во Феникс, 2004. - С. 544.

23. Мельников И. И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах / И. И. Мельников, И. Н. Сергеев. - М.: Изд-во Московского университета, 1990. - С. 303.

24. Мерзляк А. Г. Тригонометрия: Задачник по школьному курсу. 8-11 класс / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович. - М.: АСТ - ПРЕСС: Магистр, 1998. - С. 655.

25. Мерзляк А. Г. Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. - Киев: Агрофирма Александрия, 1993. - С. 59.

26. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 "Математика" и 2105 "Физика" / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - С. 336.

27. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. Спец. / Сост. В. И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - С. 414.

28. Мордкович А. Г. Беседы с учителями математики / А. Г. Мордкович. - М.: Школа - Пресс, 1995. - С. 272.

29. Морозова Е. А. Международные математические олимпиады. Задачи, итоги, решения. Пособие для учащихся / Е. А. Морозова. - М.: Просвещение, 1976. - С. 288.

30. Московский государственный университет // Математика в школе. - №10. - 2002. - С. 28-43.

31. Нараленков М. И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие / М. И. Нараленков. - М.: Изд-во Экзамен, 2003. - С. 448.

32. Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. - М.: Изд-во МГУ, 1991. - С. 143.

33. Петров В. В. Нестандартные задачи / В. В. Петров, Е. В. Елисеева // Математика в школе. - №8. - 2001. - С. 56-59.

34. Писаревский Б. М. Задачи об экстремумах / Б. М. Писаревский // Математика в школе. - №5. - 2004. - С. 47-51.

35. Письменный Д. Т. Математика для старшеклассников / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис, Рольф, 1996. - С. 281.

36. Пойа Д. Обучение через задачи / Д. Пойа // Математика в школе. - №3. - 1970. - С. 89-91.

37. Потапов М. К. Готовимся к экзаменам по математике: Учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. - М.: Научно - технический центр "Университетский": АСТ - Пресс, 1997. - С. 352.

38. Потапов М. К. Конкурсные задачи по математике / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - С. 400.

39. Потапов М. К. Математика. Методы решения задач. Для поступающих в вузы: Учебное пособие / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. - М.: Дрофа, 1995. - С. 336.

40. Потапов, М. К. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений / М. К. Потапов, А. В. Шевкин // Математика в школе. - №3. - 2005. - С. 24-29.

41. Программы для общеобразоват. Школ, гимназиев, лицеев: Математика. 5-11 класс / Сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. - М.: Дрофа, 2002.- С. 320.

42. Саакян С. М. Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов / С. М. Саакян, Гольдман А. М., Денисов Д. В. - М.: Просвещение, 1990. - С. 256.

43. Смоляков А. Н. Тригонометрические подстановки в уравнения и неравенства / А. Н. Смоляков // Математика в школе. - №1. - 1996. - С.4.

44. Супрун В. П. Избранные задачи повышенной сложности по математике / В. П. Супрун. - Минск: Полымя, 1998. - С. 108.

45. Терешин Н. А. 2000 задач по алгебре и началам анализа. 10 класс / Н. А. Терешин, Т. Н. Терешина. - М.: Аквариум, 1998. - С. 256.

46. Ткачук В. В. Математика - абитуриенту: Все о вступительных экзаменах в вузы. Том 1 / В. В. Ткачук. - М.: ТЕИС, 1996. - С. 415.

47. Ткачук В. В. Математика - абитуриенту: Все о вступительных экзаменах в вузы. Том 2 / В. В. Ткачук. - М.: ТЕИС, 1996. - С. 414.

48. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11 класс / А. В. Фарков. - М.: Айрис-пресс, 2002. - С. 160.

49. Фирстова Н. И. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений / Н. И. Фирстова // Математика в школе. - №5. - 2002. - С. 68-71.

50. Фридман Л. И. Как научиться решать задачи / Л. И. Фридман, Е. Н. Турецкий. - М.: Московский психолого-социальный институт, 1999. - С. 240.

51. Черкасов О. Ю. Математика: Методические указания для поступающих в вузы / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. - М.: УНЦ ДО МГУ, 1996. - С. 368.

52. Черкасов О. Ю. Математика: Скорая помощь абитуриентам / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. - М.: Учебный центр Московский лицей, 1995. - С. 348.

53. Шабунин М. И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств / М. И. Шабунин. - М.: Аквариум, 1997. - С. 256.

54. Шабунин М. И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений / М. И. Шабунин. - М.: Аквариум, 1997. - С. 272.

55. Шарыгин И. Ф. Математика для поступающих в вузы: Учебное пособие / И. Ф. Шарыгин. - М.: Дрофа, 2000. - С. 416.

56. Шарыгин И. Ф. Математика для школьников старших классов / И. Ф. Шарыгин. - М.: Дрофа, 1995. - С. 486.

57. Шарыгин И. Ф. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса общеобразовательных учреждений / И. Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение, 1994. - С. 350.