Нужна индивидуальная работа?

Подберем литературу

Поможем справиться с любым заданием

Подготовим презентацию и речь

Оформим готовую работу

Узнать стоимость своей работы

Дарим 200 руб.
на первый
заказ

Решение задач

Физическая культура и спорт

Решение задач на тему: Численное решение уравнения, условия, ложенные функцию, графический метод определения корней

Купить за 100 руб.

Страниц

Размер файла

219.33 КБ

Просмотров

Покупок

Данной работе рассматриваются метода приближённого вычисления действительных корней алгебраического или трансцендентного уравнения заданном отрезке а, b.Уравнение зывается алгебраическим, если

Введение

Этот метод ещё называется методом вилки.

Нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на отрезке [а, b]. Рассмотрим отрезок [x0, x1]: [x0, x1][а, b]. Пусть мы нашли такие точки х0, х1, что f (х0) f(х1)  0, т. е. на отрезке [х0, х1] лежит не менее одного корня уравнения. Найдём середину отрезка х2=(х0+х1)/2 и вычислим f(х2). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой выполняется условие

f (х2) f(хгран.)  0, так как один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис 1.2).

Если требуется найти корень с точностью Е, то про-

должаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка

не станет меньше 2Е. Тогда середина последнего отрезка

даст значение корня с требуемой точностью.

Дихотомия проста и очень надёжна. К простому

корню она сходится для любых непрерывных функций

в том числе и не дифференцируемых; при этом она устой-

чива к ошибкам округления. Скорость сходимости не ве-

лика; за одну итерацию точность увеличивается пример-

но вдвое, т. е. уточнение трёх цифр требует 10 итераций.

Зато точность ответа гарантируется. рис. 1.2

Приступим к доказательству того, что если непрерывная функция принимает на концах некоторого отрезка [а, b] значения разных знаков, то методом дихотомии однозначно будет найден корень.

Предположим для определённости, что функция f(x) принимает на левом конце отрезка [а, b] отрицательное значение, а на правом - положительное:

Возьмём среднюю точку отрезка [а, b], h=(а+b)/2 и вычислим значение в ней функции f(x). Если f(h)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли такую точку, где функция обращается в нуль. Если f(h) 0, тогда из отрезков [а, h] и [h, b] выберем один из них тот, где функция на его концах принимает значения разных знаков. Обозначим его [а1, b1]. По построению: f(а1)<0, f(b1)>0. Затем среднюю точку отрезка [а1, b1] точку h1 и проведём тот же алгоритм нахождения другого отрезка [а2, b2] где бы по построению f(а2)<0, f(b2)>0. Будем продолжать этот процесс. В результате он либо оборвётся на некотором шаге n в силу того, что f(hn)=0, либо будет продолжаться неограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения f(x)=0 решён, поэтому рассмотрим второй случай.

Неограниченное продолжение процесса даёт последовательность отрезков [а, b], [а1, b1], [а2, b2],… Эти отрезки вложены друг в друга - каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим:

причём:

Длины отрезков с возрастанием номера n стремятся к нулю:

Рассмотрим левые концы отрезков. Согласно (1.2) они образуют монотонно убывающую ограниченную последовательность {аn}. Такая последовательность имеет предел, который можно обозначить через с1:

Согласно (1.1) и теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем:

с1  bn (2.2)

Теперь рассмотрим правые концы отрезков. Они образуют монотонно не возрастающую ограниченную последовательность {bn}, которая тоже имеет предел. Обозначим его через с2: . Согласно неравенству (2.1) пределы с1 и с2 удовлетворяют неравенству с1  с2. Итак, аn  с1 < с2  bn, и следовательно:

с2-с1  bn - аn=(b-а)/2n.

Таким образом, разность с2-с1 меньше любого наперёд заданного положительного числа. Это означает, что с2-с1=0, т. е.: с1=с2=с

Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности Используя непрерывность функции f(x), докажем, что она является корнем уравнения f(x)=0.

Мы знаем, что f(аn)<0. Согласно определению непрерывности и возможности предельного перехода в неравенствах, имеем:

f(с)=lim f(аn)0 (3.2)

Аналогично, учитывая, что f(bn)0, получаем, что:

f(с)=lim f(bn) 0 (4.2)

Из (3.2) и (4.2) следует, что f(с)=0. т. е. с - корень уравнения.

Процесс построения последовательности вложенных стягивающих отрезков методом вилки (дихотомии) является эффективным вычислительным алгоритмом решения уравнения f(x)=0. На n-ом шаге процесса получаем:

аn  с  bn

Это двойное неравенство показывает, что число аn определяет корень с недостатком, а число bn с избытком, с ошибкой не превышающей длину отрезка n=bn-аn=(b-а)/2n. При увеличении n ошибка стремится к нулю по закону геометрической прогрессии со знаменателем q=0.5. Если задана требуемая точность >0, то чтобы её достигнуть достаточно сделать число шагов N, не превышающее log2[(b-а)/]: N>log2[(b-а)/].