Докторская диссертация на тему: Расширение кольца с помощью полутела

Введение

Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.

Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).

В работе исследуется следующий вопрос. Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L?

Полукольцом называется такая алгебраическая структура áS; +, *, 0ñ, что áS; +, 0ñ - коммутативный моноид с нулем 0, áS, ñ - полугруппа и в S выполняются тождества а(b+с)=аb+ас, (а+b)с=ас+bс и а0=0а=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру áS; +, ñ, которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом. Полукольцо с квазитождеством а+b=0 Þ а=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством а+а=а называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством а+b=а+с Þ b=с называется сократимым.

Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца К с помощью полукольца Т, если на S существует такая конгруэнция s, что К@[0]s - изоморфно нулевому ядру - и S/s@Т. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца К, возможно без нуля, с помощью полукольца Т, если на S существует конгруэнция r, для которой К@[1]r - изоморфно единичному ядру - и S/r@Т. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).

Для произвольного полукольца S обозначим через R(S) множество всех аддитивно обратимых элементов в S, а через U(S) - множество всех обратимых элементов в S в случае, когда S обладает 1. Очевидно, что R(S) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. а+bÎR(S) Þ а, bÎR(S)).

Пусть S/R(S) - фактор-полукольцо полукольца S по конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R(S): s конгруэнтно t Û s+а=t+b для некоторых а, bÎR(S). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp-полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида а+1, aÎS, обратимы, а его регулярность означает разрешимость в S каждого уравнения axа=а.

Справедливы следующие утверждения.

1. Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R(S), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]

2. Полукольцо S с 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал R(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S [1].

3. Полукольцо S служит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал R(S) полульца S простой (т.е. abÎR(S) влечет aÎR(S) или bÎR(S)).

4. Для полукольца S с 1 фактор-полукольцо S/R(S) является полутелом с нулем тогда и только, когда R(S) есть максимальный односторонний идеал в S.

В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].

5. Для существования 1-расширения полукольца К, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца Т необходимо и достаточно, чтобы К имело 1, а Т было идемпотентным полукольцом с 1.

6. Любое arp-полукольцо S является 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/r, где r - конгруэнция на S, такая, что arb означает аU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См. [2].

7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].

Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольца К и полукольца без нуля L с помощью полукольца Т, если на S существует такая конгруэнция r, что [0]ρ@К, [1]r@L и S/r@Т.

Пусть для кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L. Соответствующую тройку <R ,Р ,L> будем называть допустимой.

Оглавление

- Введение 3

- Допустимые кольца и решетки

- Допустимые полутела

- О единственности расширения

- Заключение 14

- Библиографический список 15

Заключение

В дипломной работе представлено описание 0-1-расширений кольца R и полутела U с помощью решетки L. Установлены, следующие факты:

существование 0-1-расширения не зависит от строения дистрибутивной решётки L (теорема 1);

кольцо R состоит в какой либо допустимой тройке тогда и только тогда, когда оно радикально по Джекобсону (теорема 1);

строение полутела U существенно зависит от строения R (теорема 2).

Не решённым остаётся вопрос о единственности с точностью до изоморфизма UR. В работе устанавливается взаимосвязь между значимыми математическими структурами - кольцами и полутелами. Подобные взаимосвязи могут существовать и между другими объектами алгебры, существенным может оказаться изучение и обобщение таких взаимосвязей.

Список литературы

1. Вечтомов Е.М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули: сб. статей / Под ред. А.В. Михалева. Вып. 15. -Томск: ТГУ, 2000. - С. 17-23.

2. Вечтомов Е.М., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево-регурярные положительные полукольца // Труды семинара им. И.Г. Петровского. - 2000. - Т 20. - С. 282-309.

4. Семенов А.Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. - 2003. - № 8. - С. 105-107.

5. Херстейн И. Некоммутативные кольца. - М.: Мир, 1972. - 200 с.