Решение задач на тему: Метод статистического моделирования систем. Моделирование случайных величин и процессов

Введение

Под статистическим моделированием понимается воспроизведение с помощью ЭВМ функционирования вероятностной модели некоторого объекта

Задачи статистического моделирования состоят в том, чтобы научиться воспроизводить с помощью ЭВМ поведение таких моделей, например:

* с помощью специальных методов и средств вырабатывать программы реализации случайных чисел;

* с помощью этих чисел получать реализацию случайных величин или случайных процессов с более сложными законами распределения;

* с помощью полученных реализации вычислять значения величин, характеризующих модель, и производить обработку результатов экспериментов;

Устанавливать связь алгоритмов моделирования с алгоритмами решения задач вычислительной математики с помощью метода Монте-Карло и строить так называемые "фиктивные" модели, т.е. модели, не имеющие связи с объектом моделирования, но удобные в вычислительном отношении и позволяющие вычислять нужные нам характеристики объекта

Моделирование случайных процессов строится на основе базовых распределений случайных величин

Одним из таких процессов является марковские процессы

Оглавление

- Введение

- Метод статистического моделирования систем

- Моделирование случайных величин и процессов

- Основные понятия марковских процессов

- Математический аппарат дискретных марковских цепей Введение

- В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации

- Метод моделирования широко применяют в таких областях, как автоматизация проектирования и организации в автоматизированных системах научных исследований, в системах исследования и проектирования, в системах массового обслуживания, анализ различных сторон деятельности человека, автоматизированное управление производственными и другими процессами. Важно подчеркнуть, что моделирование используется при проектировании, создании, внедрении, эксплуатации систем, а также на различных уровнях их изучения, начиная от анализа работы элементов и кончая исследованием системы в целом при их взаимодействии с окружающей средой

- Метод статистического моделирования систем На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей аналитических и имитационных широко используется метод статистического моделирования Монте-Карло, который базируется на использовании случайных чисел, т.е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценки характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней среды Е статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики,

- Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ

- Различают две области применения метода статистического моделирования

- для изучения стохастических систем

- для решения детерминированных задач

- Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. При такой замене погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний реализации моделирующего алгоритма N

- В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализации N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы

- При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел, используемых для получения статистически устойчивой оценки характеристики процесса функционирования системы S при реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ, колеблется в достаточно широких пределах в зависимости от класса объекта моделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой точности и достоверности результатов моделирования. Для метода статистического моделирования на ЭВМ характерно, что большое число операций, а соответственно большая доля машинного времени расходуются на действия со случайными числами. Кроме того, результаты статистического моделирования существенно зависят от качества исходных базовых последовательностей случайных чисел. Поэтому наличие простых и экономичных способов формирования последовательностей случайных чисел требуемого качества во многом определяет возможность практического использования машинного моделирования системы

- Понятие статистическое моделирование тесно связано с понятием метод Монте-Карло и почти ему тождественно

- Для решения задач методом Монте-Карло необходимо получать на ЭВМ последовательность выборочных значений случайной величины с заданным распределением. Такой процесс принято называть моделированием случайной величины. Случайные величины обычно моделируют с помощью преобразований одного или нескольких независимых значений случайной величины а, равномерно распределенной в интервале 0,1. Независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале 0,1

- Можно выделить следующие этапы моделирования случайных величин

- генерирование N реализации случайной величины с требуемой функцией распределения

- преобразование полученной величины, определяемой математической моделью

- статистическая обработка реализации

- Особенностью первого этапа является то, что все методы для получения заданного распределения используют преобразование равномерно распределенной величины

- Конструктивно задаются случайная величина, равномерно распределенная в интервале 0,1, 0,l, далее производится отображение и получается новая случайная величина с распределением, определяемым решаемой задачей, в общем случае может быть довольно сложным

- Далее следует получение некоторых характеристик. При параметрических оценках вычисляется некоторая функция . При непараметрическом задании функций распределения обычно вычисляются плотности или функции распределения. Чаще всего находят оценки математической ожидания. Погрешность оценки определяется дисперсией если она известна по числу экспериментов

- В результате можно выделить следующие этапы

- подготовка исходных данных блок 1,

- генерирование равномерно распределенных случайных чисел блок 2,

- преобразования для получения заданного закона распределения блок 3

- выполнение дополнительных преобразований в соответствии с проблем ной областью блок 4

- статистическая обработка блок 5