Решение задач: Матанализ, 1 курс, пределы функций и последовательностей, часть 3.

1. Предлагаем вам решить десять задач по нахождению пределов функций и числовых последовательностей. Это третья часть этой темы, так что, если вы еще не изучили предыдущие, рекомендуем это сделать, чтобы лучше понять материал. Давайте начнем!

2. Первая задача: найти предел функции (1+1/x)^(x-2) при x -> бесконечности. Для решения этой задачи вспомните, что предел (1+1/n)^n при n -> бесконечности равен числу e. Примените этот факт и выразите исходную функцию через e.

3. Вторая задача: найти предел функции (x^2 - 4)/(x-2) при x -> 2. Здесь нужно просто подставить x=2 и вычислить значение функции.

4. Третья задача: найти предел функции (cos^2(x) - sin^2(x))/sin(2x) при x -> 0. Воспользуйтесь тригонометрическим тождеством cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x) и далее упростите выражение.

5. Четвертая задача: найти предел функции sqrt(x^2 + 3x) - x при x -> бесконечности. Здесь можно воспользоваться формулой a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) и продолжить упрощение.

6. Пятая задача: найти предел числовой последовательности a_n = (-1)^n*sqrt(n)/(n+1) при n -> бесконечности. Для решения воспользуйтесь правилом знакочередующихся последовательностей и замечанием, что (n+1)^2/n^2 = (1+1/n)^2.

7. Шестая задача: найти предел функции (ln(x+1) - ln(x))/ln(x) при x -> бесконечности. Примените правило Лопиталя и упростите выражение.

8. Седьмая задача: найти предел числовой последовательности a_n = (n^2 + 2^n)/(3^n) при n -> бесконечности. Воспользуйтесь правилом Лопиталя для вычисления предела отношения n-ых степеней.

9. Восьмая задача: найти предел функции (x - ln(x))/(x + ln(x)) при x -> 0. В этой задаче тоже можно применить правило Лопиталя и после упрощения получить ответ.

10. Девятая задача: найти предел функции sin(1/x) при x -> 0. Здесь можно воспользоваться фактом, что -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 для любого x и вывести отсюда оценку предела.

11. Сто десятая задача: найти предел функции (x^n - 1)/x при x -> 1, где n - некоторое натуральное число. Подставьте x=1 и вычислите значение функции.

Поздравляем! Вы успешно решили все десять задач по пределам функций и числовым последовательностям. Надеемся, что этот материал помог вам лучше освоить тему и улучшить свои навыки в решении подобных задач.