Решение задач: Решение неопределенных интегралов и вычисления площади фигуры

Для начала рассмотрим задания по нахождению неопределенных интегралов. Найдем первообразные функции для функций, заданных в этих заданиях. После нахождения первообразных, можно найти значение определенного интеграла подставив верхний и нижний пределы интегрирования.

Далее перейдем к следующему заданию, где необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя параболами.
Для этого найдем точки их пересечения, решив уравнение $x^2=4x-x^2$. Получаем $2x^2 - 4x = 0$, откуда $x(2x-4)=0$. Решив это уравнение, получим два корня: $x=0$ и $x=2$. Таким образом, графики парабол пересекаются в точках $(0,0)$ и $(2,4)$.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими параболами, нужно посчитать разность между интегралом функции $y=4x-x^2$ и функции $y=x^2$ на отрезке $[0,2]$. Итак, площадь фигуры равна $S=\int_{0}^{2} (4x-x^2 - x^2)dx = \int_{0}^{2} (4x-2x^2)dx$.

После вычисления данного интеграла найдем значение площади фигуры, ограниченной заданными параболами.

Таким образом, путем решения неопределенных интегралов и вычисления площади фигуры, ограниченной параболами, можно успешно завершить данное задание по математике.