Магистерская диссертация на тему: Развитие понятия интеграла 1.1 Проблема моментов. Интеграл Стилтьеса 2.1 Определение интеграла

Введение

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют "не слишком много" точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.

Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.

Цель работы - рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.

Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели:

изучить множество литературы по этой теме;

отобрать из изученного материла необходимый;

привести примеры использования интеграла.

Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена развитию данного понятия, проблеме моментов, которая и привела к необходимости введения нового понятия интеграла.

Во второй главе рассмотрены основные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления, рассмотрено множество примеров.

Третья глава посвящена применению интеграла Стилтьеса в других разделах математики и в других науках.

Оглавление

- Введение

- Развитие понятия интеграла 1.1 Проблема моментов

- Интеграл Стилтьеса 2.1 Определение интеграла Стилтьеса

- Общие условия существования интеграла Стилтьеса

- Классы случаев существования интеграла Стилтьеса

- Свойства интеграла Стилтьеса

- Интегрирование по частям

- Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана

- Вычисление интегралов Стилтьеса

- Примеры

- Теорема о среднем, оценки

- Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса

- Примеры и дополнения Глава III. Применение интеграла Стилтьеса

- Применение в теории вероятностей

- Применение в квантовой механике Заключение

- Список литературы

- Приложение

Список литературы

1. Александров П.С., Колмогоров А. Введение в теорию функций действительного переменного. Изд.3-е, переработ. М. - Л., Гостехтеориздат., 1938г.

2. Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного. Избранные главы.М., "Наука", 1971

3. Гливенко В.И. Интеграл Стилтьеса. - М., 1936, 216с.

4. Гохман Э.Х. Интеграл Стилтьеса и его приложения. Государственное издательство физ. - мат. литературы, М., 1958

5. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. - М.: Издательство "Факториал Пресс", 2002. - 160с.

6. Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Перевод с немецкого Г.П. Сафроновой. Под ред. И.П. Натансона. - М.: Государственное издательство физ. - мат. литературы, 1959г.

7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебник для вузов. - 6-е изд., испр. - М.: Наука, Главная редакция физ. - мат. Литературы, 1989. - 624 с.

8. Леонтьева Т.А. и др. Задачи по теории функций действительного переменного: Учеб. Пособие по спец. "Математика"/ Панферов В.С., Серов В.С. - М.: Изд-во МГУ, 1997 - 208с.

9. Макаров И.П. Теория функций действительной переменной. Под ред. И.Я. Верченко - М.: Государственное издательство "Высшая школа" - 1965

10. Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. - М., "Наука", 1974г.

11. Песин И.Н. Развитие понятия интеграла, М., "Наука", 1966. - 207с.

12. Самородницкий А.А. Теория меры/ Сыктывкар. Гос. Университет. - Л.: Издательство ЛГУ, 1990. - 267с.

13. Теория функций вещественной переменной. И.П. Натансон. Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1974

14. Теория функций и функциональный анализ: [Сборник статей/ Науч. ред. проф. Б.М. Гагаев]. - Казань: Издательство Казанского университета, 1976г. - 98с.

15. Тимофеев А.Ф. Интегрирование функций. М. - Л. Издательство технико-теоретической литературы, 1948

16. Толстов Г.П. Мера и интеграл. Главная редакция физ. - мат. Литературы, "Наука", 1976г

17. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Том III/ - СПб.: Издательство Лань, 1997. - 672с.

18. Фролов Н.А. Теория функций действительного переменного. Учебное пособие для пединститутов. Изд-во 2-е, М., Учпедгиз, 1961

19. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т.2. Пер. с латинского. - М., Гостехтеориздат., 1957. - 368с.