Магистерская диссертация на тему: Цель работы - провести исследование модели двухкомплексного энзимного механизма методом интегральных

Введение

В течение всего времени существования человек пользовался ферментами, зачастую не подразумевая об этом. Но на сегодняшний день известно уже свыше 3000 ферментов. Термин фермент (от лат. fermentum - брожение, закваска) впервые был предложен в XVII веке химиком Ван Гельмонтом при обсуждении механизмов пищеварения. Ферменты являются биологическими катализаторами белковой природы, ускоряющими химические реакции как в живых организмах, так и вне их. А так как основу любого химического процесса, участвующего, как в жизнедеятельности организма, так и в ином процессе, составляют ферменты, то данная тема имеет очень важный биологический смысл.

В настоящее время ферменты применяются более чем в 25 отраслях промышленности: это и хлебопечение, и пивоварение, кожевенное и меховое производства, сыроварение, кулинария и т.д. Ферменты высокого качества позволяют улучшить технологию, сократить затраты и даже получить новые продукты.

В данной работе исследуется нелинейная математическая модель, описывающая одну из наиболее простых и в тоже время основных ферментативных реакций, широко встречающихся в промышленности, - это реакция, содержащая два фермент-субстратных комплекса, в которой субстрат необратимо превращается в продукт одним ферментом. Теория такой реакции известна как теория Михаэлиса-Ментен (Michaelis-Menten) [4].

Данная модель уже рассматривалась ранее [1], однако с увеличением порядка рассматриваемых систем уравнений, задачи качественного исследования значительно усложняются, поэтому более эффективное исследование системы можно получить, исследуя её методом интегральных многообразий, не применяемым ранее к рассматриваемой модели.

Работа состоит из четырех разделов, в первом из которых приводятся необходимые понятия из теории редукции динамических систем, а именно: метод интегральных многообразий и ILDM-метод. Во втором разделе исследуется исходная модель, а также проводится сравнительный анализ метода интегральных многообразий с ILDM-методом. Результаты аналитического исследования проверяются численным анализом системы в третьем разделе. В четвертом приводится интерпретация полученных результатов с точки зрения биологии.

Оглавление

- Введение

- Методы редукции

- Метод интегральных многообразий

- ILDM-метод

- Математическая модель

- Основные понятия

- Постановка задачи

- Исследование модели

- Представление модели в безразмерном виде

- Построение интегрального многообразия

- ILDM-метод

- Нахождение и исследование особой точки

- Численное моделирование

- Интерпретация результатов Заключение

- Список использованных источников

- Приложение А Текст программы

Список литературы

1. Roussel М.R., Fraser S.J. Geometry оf the steady-state approximation: Perturbation and accelerated convergence methods // Journal оf Chemical Physics. 1990. №93. Р. 1072-1081.

. Холоднеок М., Клич А., Кубич М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991. 363 с.

. Соболев В.А., Щепакина Е.А. Редукция моделей и критические явления в макрокинетике. М.: Физматлит, 2010. 320 с.

. Марри Дж. Математическая биология. Том 1. М.: РХД-ИКИ, 2011.

. Тихонов А.Н., Васильев А.Б., Свешников А.Г. Курс высшей математики и математической физики. Выпуск 7: Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. С. 183-210.

. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

. Воропаева Н.В., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. М.: Физматлит, 2009. 256 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Текст программы

Для численного решения исходной системы была использована функция NDSolve, а для визуализации была использована функция ParametricPlot3D, которая параметрически строит кривую в пространстве.

Нулевое приближение интегрального многообразия для двух разных парметров:D[{x, 0.82*x/(1.62*x + 0.098), 0.8*x/(1.62*x + 0.098)}, {x, 0, 1}, PlotStyle -> Blue, AxesLabel -> {x, y1, y2}, PlotLegends -> {Нулевое приближение}];D[{x, 0.015*x/(0.0275*x + 0.00153125),

Первое приближение интегрального многообразия для двух разных парметров:D[{x, 0.82*x/(1.62*x + 0.098) +0.1*0.0012544*x*(1.6405 - x)/(1.62*x + 0.098)^4, 0.8*x/(1.62*x + 0.098) + 0.1*0.0012544*x*(x + 1.72)/(1.62*x + 0.098)^4}, {x, 0, 1}, PlotStyle -> Red, AxesLabel -> {x, y1, y2}, PlotLegends -> {Первое приближение}];D[{x, 0.015*x/(0.0275*x + 0.00153125) +0.1*598.14453125*x*(0.0305 - x)/(27.5*x + 1.53125)^4, 0.0125*x/(0.0275*x + 0.00153125) + 0.1*598.14453125*x*(x + 0.1275)/(27.5*x + 1.53125)^4}, {x, 0, 1}, PlotStyle -> Red, AxesLabel -> {x, y1, y2}].

Второе приближение интегрального многообразия для двух разных парметров:D[{x, 0.82*x/(1.62*x + 0.098) +0.1*0.0012544*x*(1.6405 - x)/(1.62*x + 0.098)^4 + 0.01*0.000153664* x*0.8*(x - 1.6405)*(0.13124 + 2.6084*x)/(1.62*x + 0.098)^7, 0.8*x/(1.62*x + 0.098) + 0.1*0.0012544*x*(x + 1.72)/(1.62*x + 0.098)^4 + 0.01*0.000153664*x*0.8*(x + 1.72)*(-0.13124 - 2.6084*x)/(1.62*x + 0.098)^7}, {x, 0, 1}, PlotStyle -> Green, AxesLabel -> {x, 1, y2}, PlotLegends -> {Второе приближение}];D[{x, 0.015*x/(0.0275*x + 0.00153125) +0.1*598.14453125*x*(0.0305 - x)/(27.5*x + 1.53125)^4 + 0.01*7327.2705078125*0.0125*x*(x - 0.0305)*(0.000725*x + 0.000038125)/(2.75*x + 0.153125)^7, 0.0125*x/(0.0275*x + 0.00153125) + 0.1*598.14453125*x*(x + 0.1275)/(27.5*x + 1.53125)^4 + 0.01*7327.2705078125*0.0125* x*(x + 0.1275)*(-0.000725*x - 0.000038125)/(2.75*x + 0.153125)^7}, {x, 0, 1}, PlotStyle -> Green, AxesLabel -> {x, y1, y2}];

Изображение нулевого, первого и второго приближений на одном графике:[Out[1], Out[2], Out[3]].

Численное решение (траектория) для двух разных парметров:[{x'[t] == (y2[t] - 1)*x[t] + (x[t] + 0.1)*y1[t], y1'[t] == 10*(x[t] - (x[t] + 0.9)*y1[t] + (0.8 - x[t])*y2[t]), y2'[t] == 10*(0.8*y1[t] - 0.82*y2[t]), x[0] == 1, y1[0] == 0, y2[0] == 0}, {x[t], y1[t], y2[t]}, {t, 0, 120}];D[Evaluate[{x[t], y1[t], y2[t]} /. %], {t, 0, 120}, PlotStyle -> Black, AxesLabel -> {x, y1, y2}, PlotLegends -> {Траектория}].[{x'[t] == (y2[t] - 1)*x[t] + (x[t] + 0.1)*y1[t], y1'[t] == 10*(x[t] - (x[t] + 0.1125)*y1[t] + (0.0125 - x[t])*y2[t]), y2'[t] == 10*(0.0125*y1[t] - 0.015*y2[t]), x[0] == 1, y1[0] == 0, y2[0] == 0}, {x[t], y1[t], y2[t]}, {t, 0, 120}];D[Evaluate[{x[t], y1[t], y2[t]} /. %], {t, 0, 120}, PlotStyle -> Black, AxesLabel -> {x, y1, y2}].

Изображение нулевого, первого, второго приближений и траектории на одном графике:[Out[4], Out[6]].