Магистерская диссертация на тему: Комплексные числа, их прошлое и стоящее

Введение

Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.

Именно, если дано:

(α) Линейное уравнение аx+b=0, где а≠0, то x=-b/а - единственный корень;

(β) Квадратное уравнение аx+bx+с=0, где а,b,с - действительные числа, а≠0, то x=-b±√b*b-4ac/2а; при этом число корней зависит от величины D = b2 - 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:

При D>0 - два действительных корня, D=0 - один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D<0 - нет действительных корней.

Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы - трехчленные (например, биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.

Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием - понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений.

Оглавление

- I. Введение

- Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики

- Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл

- Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами

- Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы

- Операция сопряжения и ее свойства

- Извлечение корней

- Геометрический смысл алгебраических операций

- Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней

- Формула Кердано

- Метод Феррари для уравнения 4-ой степени

- Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел

- VI. Заключение

- VII. Литература

Список литературы

1. Кураш А.Г. "Алгебраические уравнения произвольных степеней". М., "Наука", 1983.

2. Маркушевич А.И. "Комплексные числа и конформные отображения". М., "Физматгиз", 1960.

3. Стройк Д.Я. "Краткий очерк истории математики". М., "Наука", 1969.

4. Яглом И.И. " Комплексные числа и их применение в геометрии". М., Физматгиз, 1963.

5. Справочник по элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией Фильчакова П.Ф. "Наукова Думка", Киев - 1972.