Реферат на тему: Пространство Минковского. Кривые в пространстве . Понятие о линейчатых и развертывающихся

Введение

В работе исследуется геометрия поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один, т.е. пространства Минковского.

Изучение дифференциальной геометрии в пространстве Минковского является актуальной задачей, поскольку пространство Минковского является пространством специальной теории относительности, и все результаты по дифференциальной геометрии этого пространства получают физическое истолкование. Каждое событие характеризуется тремя пространственными координатами и моментом времени t. Если уравнения физической теории (релятивистской механики, релятивистской гидродинамики, электродинамики и др.) записаны в виде соотношений, связывающих векторы и тензоры, заданные в пространстве Минковского, то их вид будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Тем самым основной принцип специальной теории относительности будет выполняться автоматически.

Интервал (расстояние между точками) в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен <http://ru.wikipedia.org/wiki/Инвариант> при замен е одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве.

Данная работа состоит из шести параграфов.

В первом параграфе происходит знакомство с пространством Минковского, дается определение этого пространства, его основные особенности, перечисляются типы прямых и плоскостей.

Во втором параграфе исследуются кривые пространства 1R4, вводится понятие соприкасающегося флага. Для кривых с заданным соприкасающимся флагом строится канонический репер и выводятся деривационные формулы.

Третий параграф посвящен изучению развертывающихся и линейчатых поверхностей. Изучение основных понятий этого параграфа поможет перейти к рассмотрению торсов.

В четвертом параграфе рассматриваются торсы с псевдоевклидовой касательной плоскостью и соприкасающимся флагом вида {М, R1, 1R2, 1R3}. Для таких торсов строится канонический репер кривой пространства 1R4 и выводятся деривационные формулы.

В последующих двух параграфах исследуются линии на торсах указанного типа с помощью построенного канонического репера. Дается понятие геодезических линий, решается вопрос о существовании (1,2)-,(2,2)-,(1,3)-,(2,3)- геодезических линий на торсе с псевдоевклидовой касательной плоскостью. Вводится понятие нормальной кривизны кривой, вектора кривизны, определяются асимптотические линии.

Оглавление

- Введение

- Пространство Минковского

- Кривые в пространстве 1R4

- Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях

- Торсы в пространстве 1R4

- Линии на торсах пространства Минковского

- Асимптотические линии на торсе пространства Минковского Заключение

- Список использованных источников

Заключение

В работе исследуется геометрия поверхностей пространства Минковского.

В пространстве 1R4 рассматриваются торсы, то есть поверхности образованные касательными к некоторой кривой пространства Минковского, называемой ребром возврата для этого торса. Рассмотрен класс таких поверхностей, ребро возврата которых имеет соприкасающийся флаг вида М, R1, 1R2, 1R3 .

Для торсов такого класса решены следующие задачи:

1. построен канонический репер торса;

2. получены деривационные формулы построенного канонического репера;

. определено понятие (n,к) - геодезических линий на торсе;

. получена теорема о существовании (1,2)-, (2,3) - геодезических линий на исследуемом торсе;

. вводится обобщение понятия асимптотических линий на поверхности пространства Минковского, находятся асимптотические линии на торсе рассматриваемого класса.

Список литературы

1. Атанасян, Л.С. Геометрия: учеб. пособие в 2 ч./ Л.С. Атанасян, Г.Б. Гуревич. - М.: Просвещение, 1976. - Ч.2. - 488 с.

2. Базылев, В.Т. Геометрия: в 2 т./ В.Т. Базылев, К.И. Дуничев. - М.: Просвещение, 1972. - Т.2. - 352 с.

3. Бакельман, И.Я. Введение в дифференциальную геометрию: учебное пособие/ И.Я. Бакельман, А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор. - М.: Наука, 1973. - 437 с.

4. Матвеев, Н.М. Дифференциальные уравнения: учеб. пособие для студ. пед. ин-тов по физ. - мат. спец./ Н.М. Матвеев. - М.: Просвещение, 1988. - 464 с.

5. Погорелов, А.В. Геометрия: учебник для студентов математических специальностей университетов и пед. институтов/ А.В. Погорелов. - М.: Наука, 1974. - 173 с.

6. Позняк, Э.Г. Геометрия: учеб. пособие/ Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин. - М.: изд-во МГУ, 1990. - 384 с.

7. Рашевский, П.К. Курс дифференциальной геометрии/ П.К. Рашевский. - М.: Просвещение, 1982. - 220 с.

8. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ/ П.К. Рашевский. - М.: Наука, 1964. - 538 с.

9. Тайманов, И.А. Лекции по дифференциальной геометрии/ И.А.Тайманов. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 176 с.

10. Фиников, С.П. Дифференциальная геометрия: курс лекций для мат. ф-та МГУ/ М.С. Фиников. - М.: московский университет, 1961. - 150 с.

11. Шварц, Д. Дифференциальная геометрия и топология/ Д. Шварц. - М.: Мир, 1970. - 224 с.