Магистерская диссертация на тему: Алгебраическая проблема собственных значений для матриц специального вида и ее программное

Введение

По большей части собственные векторы матрицы удается определить, используя промежуточные результаты вычислений, проведенных для определения коэффициентов характеристического полинома. Конечно, для определения собственного вектора, принадлежащего тому или другому собственному значению, это собственное значение должно быть уже вычислено. Методы этой группы являются точными, т.е. если их осуществлять для матриц, элементы которых заданы точно (рациональными числами) и вычисления проводить точно (по правилам действий над обыкновенными дробями), то в результате будет получено точное значение коэффициентов характеристического полинома, и компоненты собственных векторов окажутся выраженными точными формулами через собственные значения.

Наряду с точными методами для решения проблемы собственных значений имеются методы итерационные, в которых собственные значения получаются как пределы некоторых числовых последовательностей, так же как и компоненты принадлежащих им собственных векторов. В итерационных методах, как правило, собственные значения вычисляются непосредственно, без предварительного вычисления коэффициентов характеристического полинома, коэффициенты которого известны, достаточно трудоемко.

Однако итерационные методы более приспособлены к решению частичной проблемы собственных значений. Под частичной проблемой мы подразумеваем задачу нахождения одного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов.

Полная и частичная проблемы собственных значений совершенно различны как по методам их решения, так и по области приложений. Решение полной проблемы для матриц даже не очень высокого порядка неизбежно оказывается весьма громоздким, и возможность решения частичной проблемы, минуя тяжести решения полной, является очень ценной для практики.

Отметим, что все предлагаемые ниже методы, кроме метода Леверье (1840 г.) и метода Якоби (1846 г.), появились в тридцатых годах нашего столетия или позднее.

При изложении численных методов мы будем, как правило, предполагать элементы матриц вещественными.

Оглавление

- Введение

- Алгебраическая проблема собственных значений и собственных векторов

- Общая постановка

- Характеристическое уравнение

- Алгебраическая кратность собственного значения

- Классификация задач на собственные значения

- Полная проблема собственных значений

- Частичная проблема собственных значений

- Вычислительные методы собственных значений и собственных векторов

- Вычислительные методы полной проблемы собственных значений

- Вычислительные методы частичной проблемы собственных значений

- Программное обеспечение некоторых алгоритмов нахождения собственных значений и собственных векторов

- 4.1 Программы на языке С

- М - файлы для системы MatLab ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- Список литературы

Список литературы

1. Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц. - М. <С:\wiki\РњРsСЃРєРIР°>: Наука <С:\wiki\Наука_(РёР*РгР°С'РµР"СЊСЃС'РIРs)>, 1967 <С:\wiki\1967_РiРsРг>. - 576 с.

. Уилкинсон Д.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. - М.: Наука, -1970. -С.564с.

3. Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Наука, -1963.

4. В.В.Воеводин. Численные методы алгебры (теория и алгорифмы). М.: Наука, -1966.

5. Л.Коллатц. Задачи на собственные значения. М.: Наука, -1968.

6. К.Ю.Богачев. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. М. -1998.

7. Белов С.А., Золотых Н.Ю. Численные методы линейное алгебры. Лабораторный практикум. - нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им Н.И.Лобачевского, 2005. - 264 с.

. Воеводин В.В., Решение полной проблемы собственных значений обобщенным методом вращений, Вычислительные методы и программирование, 3, 1965, 89 - 105.

9. Воеводин В.В., Решение полной проблемы собственных значений степенными методами, Вычислительные методы и программирование

. Тыртышников. Мачричный анализ и линейная алгебра. М. 2005.

. В.И.Киреев, А.В.Пантелеев. Численные методы в примерах и задачах. М.:Высшая школа, - 2006.

12. О.В.Мантуров, Ю.К.Солнцев, Ю.И.Соркин, Н.Г.Федин. Математика терминлари изоҳли луғати. Т.:Ўқитувчи, 1974 й.

13. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие.- М., ДИАЛОГМИФИ, 1997. -370с.

14. Н.Б.Культин. С/С++ в задачах и примерах. - СПб.:БХВ - Петербург