Дипломная работа на тему: Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Введение

Любая система автоматического регулирования представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования является разделение системы на отдельные элементы и составление уравнений этих элементов. Эти уравнения могут быть интегральными, линейными, трансцендентными, но чаще всего это оказываются дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе, то есть изменение по времени всех координат системы.

Состояние системы, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение и т. д.), так и механические (скорость, угол поворота и т. д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента и одну - на выходе. Будем обозначать входную величину g(t), а выходную x(t). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных элементов системы.

Рассмотрим пример: управление самолетом по углу рыскания. Предположим, что осевая линия самолета под действием порывов ветра отклонилась от заданного направления y на угол q (рис.1). Возвращение самолета на заданный курс осуществляется с помощью руля, отклонение которого равно j. Предполагается, что относительно оси, проходящей через центр тяжести ЦТ, самолет имеет момент инерции J. Восстанавливающая сила руля пропорциональна j, трением в воздухе пренебрегаем.

Уравнение движения запишется по второму закону Ньютона:

где кj(t) - восстанавливающая сила; m(t) - момент, вызванный порывами ветра. Разделив это уравнение на J и обозначив b=-к/J, x(t)=m(t)/J, а также принимая j(t) за управляющее воздействие u(t), получаем

Вводя в рассмотрение переменные состояния

к двум дифференциальным уравнениям первого порядка

которые в векторной форме запишутся так

Вводя векторно-матричные обозначения

приходим к дифференциальному уравнению:

Оглавление

- Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления

- Элементы теории дифференциальных уравнений

- Понятие дифференциального уравнения

- Нормальная система дифференциальных уравнений

- Задача Коши

- Свойства дифференциальных уравнений

- Ломаная Эйлера и е-приближенное решение

- Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров

- Линейные дифференциальные уравнения

- Нормальная линейная система дифференциальных уравнений

- Общее решение линейной однородной системы

- Определитель Вронского. Формула Лиувилля

- Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных

- Формула Коши

- Линейное уравнение n-го порядка

- Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

- Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

- Дифференциальные уравнения при описании непрерывных систем

- Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов системы

- Понятие пространства состояний

- Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений

- Описание систем переменными состояния

- Понятие наблюдаемости системы

- Понятие управляемости системы

- Описание непрерывных систем с помощью одного дифференциального уравнения

- Переход от системы дифференциальных уравнений к одному уравнению

- Переход от одного уравнения к системе дифференциальных уравнений

- Список литературы 24

Список литературы

1. Чемоданов Б К. Математические основы теории систем.

2. Ю. Ту. Современная теория управления.