Решение задач на тему: Курсу Введение в численные методы

Введение

К задачам поиска нулей функций сводятся многие задачи нахождения наибольших или наименьших значений многомерных функций в заданной области. В литературе такого рода задачи называются задачами оптимизации. В этих задачах дополнительно оговариваются условия, при которых оптимум должен быть достигнут. В качестве условий могут выступать системы алгебраических уравнений, или системы неравенств, или и то и другое одновременно. Оптимизируемая функция при этом является, как правило, критериальной, т.е. описывающей показатель качества объекта.

Простым примером оптимизационной задачи может быть метод наименьших квадратов (МНК), где критерием качества аппроксимации служила сумма квадратов отклонений заданной системы точек от искомой аппроксимирующей кривой. Аналогичным образом построенные многопараметрические критериальные выражения в литературе называют функционалами, минимуму которых и необходимо удовлетворить соответствующим выбором параметров функционала.

Если функционал построен, включает в себя параметры и не содержит ограничений или условий на характер и диапазон изменения параметров, то система уравнений относительно неизвестных значений параметров получается приравниванием частных производных по всем параметрам нулю. В результате задача оказывается сведенной к решению линейной, как в МНК, или в общем случае нелинейной системы уравнений. Такие задачи называются задачами безусловной оптимизации.

Оглавление

- Основные понятия оптимизационных задач

- Итерационные процессы с учетом градиента

- Функционал для градиентного равенства

- Функционалы в задачах условной оптимизации Литература