Решение задач на тему: Функция двух переменных. Частные производные. Дифференциал

Введение

"Понятие функции и ее развитие" - одна из важнейших и актуальных тем в современном мире.

Актуальность исследования заключается в том, что функция - важнейшее понятие в математическом анализе, возникшее в семнадцатом веке и которое менялось на протяжении дальнейшего развития человечества, по мере того, как расширялась деятельность человека, и связанного с ним расширения круга вопросов, которые требовали количественного отображения и исследования.

Определение понятия функции двух переменных является аналогичным понятия, которое соответствует случаю функции одной переменной.

При изучении естественных наук доводится иметь дело с величинами, между которыми числовые значения одной из них находятся в зависимости от значений нескольких других. Например, периметр параллелограмма со сторонами, длины которых равны и , определяется значениями двух переменных. Поэтому с целью изучения таких зависимостей вводятся понятия функции двух (и более) переменных и развивается аппарат для исследования этих функций.1

Объект исследования - математическая подготовка учащихся средней школы.

Предмет исследования - преемственность преподавания математики в средней и высшей школе.

Актуальность данного исследования определила цель и задачи работы:

цель исследования - рассмотреть понятие частной производной функции двух переменных. Для её достижения, нужно решить следующие задачи: на основе анализа литературы изучить данную тему; провести анализ понятия функция; рассмотреть понятие производной; выявить и проанализировать понятие частной производной.

На основании проведённого исследования сделать выводы и дать рекомендации по данной работе.

Для раскрытия поставленной цели и задач определена следующая структура исследования: работа состоит из введения, основной части, заключения, списка использованной литературы. Названия глав отображают их содержание.

Оглавление

- Введение 3

- Функция двух переменных

- Частные производные. Дифференциал

- Частные производные и дифференциалы высших порядков

- Касательная плоскость и нормаль к поверхности

- Производная сложной и неявно заданной функции

- Производная по направлению. Градиент

- Экстремум функции двух переменных

- Экстремум. Необходимые и достаточные условия

- Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

- Практическое применение частных производных

- Заключение 29

- Список использованных источников 31

Заключение

Понятие функции в современной науке играет огромнейшую роль. Так как многие процессы связаны с тем, что одна переменная (функция) зависит от нескольких независимых переменных (аргументов), то в рассмотрение вводится понятие функции нескольких переменных.

Большинство правил и формул дифференцирования применимы, как и для функции одной переменной (считая одну переменную независимой, а другие фиксируем). Эта частная производная функции по некоторой переменной показывает скорость изменения функции в направлении соответствующей оси.

Понятие частной производной применяется в различных областях науки.

Производная по направлению и градиент находят применение в задачах по теории электричества, теплопередачи, гидродинамики и других задачах, где требуется знать характер изменения скалярного поля в заданном направлении в данной точке поля.

Значительная часть экономических механизмов иллюстрируется на рисунках, изображающих линии уровня функции двух переменных . Например, линии уровня производственной функции, называемые изоквантами.5

В ходе данной курсовой работы были рассмотрены понятия функции, частных и смешанных производных. На основе проанализированной литературы, рассмотрели на различные области применения данных понятий.

Многие элементарные задачи (исследование и решение уравнений, доказательство тождеств и неравенств, нахождение наибольших и наименьших значений) эффективно решаются с помощью понятий производной (частной).

Владея математическим аппаратом можно решать многие задачи математики, физики, техники.

Введение этого математического аппарата позволяет рассматривать многие задачи, решить которые нельзя элементарными методами.

Применение производной функции позволяет оценить красоту, силу, общность нового математического аппарата. Эти методы используют не только для решения поставленных задач, но и являются источником получения новых фактов элементарной математики.

Список литературы

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 2011.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Наука, 1980, 1984.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. - М.: Высш. шк. 2016.

4. Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных: учебное пособие / П.А. Вельмисов, П.К. Маценко, Ю.В. Покладова, Н.В. Савинов. - Ульяновск: УлГТУ, 2013.-88 с.

5. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. - М.: "ЮНИТИ", 2017.

6. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа: в 3 т. Т. 2. - М.: Дрофа, 2003.

7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. - Изд. 11-е, стер. - СПб.; М; Краснодар: Лань, 2008.

8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления Т. 1, 2. - М.: Интеграл-Пресс, 2004.

9. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. Ч. 1. 2. - М.: Айрис-пресс, 2010.

10. Сборник задач по математике Ч. 2: учебное пособие для втузов / под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

12. Шипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высш. шк., 2010.